Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(M\) là một điểm trên cạnh \(BC,\) \(I\) và \(K\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM.\) Xác định vị trí của \(M\) để diện tích tam giác\(AIK\)nhỏ nhất.

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) lần lượt kẻ hai tiếp tuyến \(Au,\,\,Bv\) với nửa đường tròn. Qua một điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\) và \(B\)),  kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt \(Au\) và \(Bv\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N.\)  

a) Chứng minh tứ giác \(AMCO\) nội tiếp đường tròn và \(\widehat {CBO} = \widehat {CNO}.\)

b) Kẻ \(CH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(CH\) với \(AN.\) Chứng minh ba điểm\(M,\,K,\,B\) thẳng hàng.

c) Gọi \(S\) là diện tích của tam giác \(ABC,\)\({S_1}\) là diện tích của tam giác \(MON.\) Hãy tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{S}\) khi \(AM = 1,5\,R.\)

Cho biểu thức \[T = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} - \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 1}}} \right){\left( {\frac{{\sqrt a }}{4} - \frac{1}{{4\sqrt a }}} \right)^2}\]  với \(a\, > \,0\,,\,\,a \ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức \(T.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để  \(T =  - \,\sqrt a  - 1.\)

Ông Tuệ khóa két sắt bằng mật mã có 4 chữ số. Ông chỉ nhớ rằng trong 4 chữ số đó không có chữ số 0 và tổng của chúng bằng 9. Hỏi ông Tuệ phải thử tối đa bao nhiêu lần mật mã khác nhau để chắc chắn mở được két sắt đó?

Giải phương trình \[{x^2} - 5x + 2 + \left( {3 - 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x + 2} = 0.\]

Cho \(a \ge 0,\,b \ge 0\) thỏa mãn \(2a + 3b \le 6\) và \(2a + b \le 4.\) Chứng minh rằng:

\( - \frac{{22}}{9} \le {a^2} - 2a - b \le 0.\)