$\{\begin{cases} x - y = - 1 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 3 y = - 3 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 5 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ 3 y = 8 - 2.1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Tập nghiệm hệ phương trình là $S = \{(1; 2)\}$ .

Câu 4

Cho Parabol $(P) : y = - 0, 5 x^{2}$ và đường thẳng (d): y = -0,5x + 2.

1) Vẽ đồ thị của hàm số $y = - 0, 5 x^{2}$ .

2) Viết phương trình đường thẳng $(d_{1})$ biết $(d_{1})$ vuông góc với (d) và $(d_{1})$ tiếp xúc (P)

Xem đáp án

Lời giải

1) Vẽ đồ thị của hàm số y = -0,5x²

Cho Parabol p y -0,5x 2 và đường thẳng (d) y = -0,5x + 2. 1) Vẽ đồ thị của hàm sốp y -0,5x 2 (ảnh 1)

Cho Parabol p y -0,5x 2 và đường thẳng (d) y = -0,5x + 2. 1) Vẽ đồ thị của hàm sốp y -0,5x 2 (ảnh 2)

2) $(d_{1}) : y = a x + b$ vuông góc với $(d) : y = - 0, 5 x + 2$ nên có $a . (- 0, 5) = - 1 \Leftrightarrow a = 2$ .

$(d_{1}) : y = 2 x + b$ tiếp xúc $(P) : y = - 0, 5 x^{2}$ nên phương trình $- 0, 5 x^{2} = 2 x + b \Leftrightarrow - 0, 5 x^{2} - 2 x - b = 0$ có nghiệm kép nên $Δ = 4 - 2 b = 0 \Leftrightarrow b = 2$ .

Vậy phương trình đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2$ .

Câu 5

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m = 0$ với m là tham số.

1) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂

2) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₂ và x₂ mà không phụ thuộc vào tham số m.

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - m = m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Lời giải

Phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m = 0$ (1)

1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi $Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow {[- (m + 1)]}^{2} - 1. (m^{2} + m) > 0$ .

Vậy m > -1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2) Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} + m \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} - 1 \\ x_{1} x_{2} = {(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} - 1)}^{2} + \frac{x_{1} + x_{2}}{2} - 1 \end{cases}$

=> ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = 0$ là hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ mà không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 6

Bác Tư đến siêu thị mua một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc với tổng số tiền theo giá niêm yết là 630 000 đồng. Tuy nhiên, trong tuần lễ tri ân khách hàng nên siêu thị đã giảm giá quạt máy 15% và giảm giá ấm đun siêu tốc 12% so với giá niêm yết của từng sản phẩm. Nên Bác Tư chỉ phải trả 543 000 đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi giá niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi giá tiền niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là x; y (x > 0, y > 0) (đồng).

Tổng số tiền mua 2 sản phẩm theo giá niêm yết là 630 000 đồng nên ta có phương trình:

x + y = 630 000.

Giá tiền quạt máy sau khi giảm giá là $x - 15 % x = 85 % x = 0, 85 x$ .

Giá tiền ấm siêu tốc sau khi giảm giá là $y - 12 % y = 88 % y = 0, 88 y$ .

Do bác Tư phải trả 543 000 đồng khi mua hai sản phẩm nên ta có phương trình

$0, 85 x + 0, 88 y = 543 000 (2)$ .

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 630 000 \\ 0, 85 x + 0, 88 y = 543 000 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0, 88 x + 0, 88 y = 554 400 \\ 0, 85 x + 0, 88 y = 543 000 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0, 03 x = 11 400 \\ x + y = 630 000 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 380 000 \\ 380 000 + y = 630 000 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 380 000 \\ y = 250 000 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy giá tiền niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc lần lượt là 380 000 đồng và 250 000 đồng.

Câu 7

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tại M và N.

1) Chứng minh tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh CM = CO.

3) Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh EA.EB = EC².

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết OB = 6cm, BD = 8cm. Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Xem đáp án

Lời giải

1) Ta có $C H ⊥ B D$ nên H nhìn CD dưới một góc vuông (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB

Hai bán kính OC = OB

=> OD là trung trực của BC $\Rightarrow O D ⊥ C B$

=> N nhìn CD dưới một góc vuông (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. (ảnh 1)

2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB, ta có $\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$

Theo tính chất tiếp tuyến và giả thiết, ta có góc $\hat{C O D} = \hat{D M H}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$ )

Mặt khác $\hat{D M H} = \hat{C M O}$ (đối đỉnh) => $\hat{C O D} = \hat{C M O}$

$Δ C O M$ có $\hat{C O M} = \hat{C M O}$

$\Rightarrow Δ C O M$ cân tại C => CM = CO

3) Xét $Δ E A C$ và $Δ E C B$ có góc E chung và góc $\hat{E C A} = \hat{C B A}$ (cùng chắn cung AC)

$\Rightarrow Δ E A C ∽ Δ E C B (g . g) \Rightarrow \frac{E A}{E C} = \frac{E C}{E B} \Rightarrow E A . E B = E C^{2}$

4) Hình nón được tạo bởi tam giác vuông DNB quay quanh DN

Suy ra bán kính r = NB và chiều cao h = ND.

Theo Pythagore cho tam giác vuông BOD vuông tại D có:

$O D = \sqrt{O B^{2} + B D^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 (cm)$ .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông BOD, ta có:

$B N \cdot O D = O B \cdot B D \Rightarrow B N = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8 (cm)$ .

Và $B D^{2} = D N \cdot D O \Rightarrow D N = \frac{64}{10} = 6, 4 (cm)$

Thể tích của hình nón tạo thành

$V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} π . {(4, 8)}^{2} \cdot 6, 4 = \frac{6144}{125} π \approx 154, 4156 ({cm}^{3})$ .

4.6

81 Đánh giá

50%

40%

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 7)

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)

123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải

Nội dung liên quan:

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1)

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 2)

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3)

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4)

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5)

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 6)