a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\)
b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.\)
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\)
b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
ĐK: \(11 - 4(x - y) \ge 0\)
\((x + 2)(2 - y) = 8 \Leftrightarrow 2\left( {x - y} \right) - xy = 4 \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) = 4 + xy\)
Thế vào phương trình (2) ta có:
\(\sqrt {11 - 2(4 + xy)} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 - 2xy} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3 - 2xy} - 1} \right) + {x^2}{y^2} - 3xy + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2(1 - xy)}}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + (1 - xy)(2 - xy) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - xy} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow xy = 1\) (Do \(\frac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy > 0,\,\,\,\forall xy \le \frac{3}{2}\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\2\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\2{x^2} - 5x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {41} }}{4}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{5 + \sqrt {41} }}{4};\frac{{ - 5 + \sqrt {41} }}{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{{5 - \sqrt {41} }}{4};\frac{{ - 5 - \sqrt {41} }}{4}} \right)\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 11 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2\)
\(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 5(x + 2)} - \sqrt {x + 2} = 2(x - 1)\)
Xét \[x = - 2\] (không phải là nghiệm)
Xét \[x > - 2\] Chia hai vế phương trình cho\[\sqrt {x + 2} \] ta được:\(\sqrt {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x + 2}} + 5} - 1 = \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {x + 2} }}.\) Đặt \[t = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }}\] ta được phương trình:\(\sqrt {{t^2} + 5} - 1 = 2t\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + 1 \ge 0\\{t^2} + 5 = {(2t + 1)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \frac{1}{2}\\3{t^2} + 4t - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \frac{1}{2}\\t = - 2;\,\,t = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\)
Khi \[t = \frac{2}{3}\] ta được phương trình:\[\frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2} = 3(x - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4(x + 2) = 9{(x - 1)^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\9{x^2} - 22x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \frac{{11 \pm 4\sqrt 7 }}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}.\]
Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm \[x = \frac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}\]
Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x - 1\\b = \sqrt {x + 2} \ge 0.\end{array} \right.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có \(ME.MB = M{A^2}\) do \(\Delta MAB\) vuông tại A có đường cao AE.
Lại có \(MH.MO = M{A^2}\) do \(\Delta MAO\) vuông tại A có đường cao AH.
\( \Rightarrow ME.MB = MH.MO\)
\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MB}}\)\[ \Rightarrow \Delta OME \sim \Delta BMH\]
b) Ta có\(MA = MC,\,\,OA = OC\) suy ra đường thẳng \(MO\)là trung trực đoạn thẳng \(AC\)nên \(MO \bot AC\). Kéo dài \(BC\) cắt \(AM\) tại \(P\) nên \(MO//PB\)\( \Rightarrow M\) trung điểm \(AP.\)
Ta có \(\frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{BI}}{{BM}}\) và \(\frac{{IK}}{{MA}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{IK}}{{MA}} \Rightarrow IC = IK\)
Suy ra \(I\) trung điểm của đoạn thẳng \(CK\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ACI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ACK}};{S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta BCK}}\,\, \Rightarrow {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\, = \frac{1}{4}CK.AB\)
Do đoạn thẳng \(AB\)không đổi nên tổng diện tích hai tam giác \(IAC\) và \(IBC\)lớn nhất. lớn nhất khi \(C\) điểm chính giữa hay \(K\) trùng tâm \(O.\)
Khi đó tứ giác\(AOCM\) là hình vuông.
\( \Rightarrow \frac{{FI}}{{FM}} = \frac{{IC}}{{AM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow FI = \frac{1}{3}IM = \frac{1}{6}BM.\) Lại có \(B{M^2} = A{B^2} + M{A^2} = \frac{{5A{B^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow BM = \frac{{AB\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{{FI}}{{AB}} = \frac{1}{6}.\frac{{\frac{{AB\sqrt 5 }}{2}}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{12}}.\)
.c) Ta có
\[\Delta MEC \sim \Delta MCB \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{CE}}{{CB}}\]
\[\Delta MEA \sim \Delta MAB \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{EA}}{{AB}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}}.\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{EA}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(1).\]
.Mặt khác
\[\Delta FEC \sim \Delta FAB \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{CE}}{{AB}}\]
\[\Delta FAE \sim \Delta FBC \Rightarrow \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AE}}{{BC}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{AB}}.\frac{{EA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{FE}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(2).\]
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{FE}}{{FB}}\,\,\]
\[ \Rightarrow \frac{{MB - EB}}{{MB}} = \frac{{EB - FB}}{{FB}}\,\, \Rightarrow 1 - \frac{{EB}}{{MB}} = \frac{{EB}}{{FB}} - 1 \Rightarrow 2 = \,\frac{{EB}}{{MB}} + \frac{{EB}}{{FB}}\]
\[ \Rightarrow 2 = EB\left( {\frac{1}{{MB}} + \frac{1}{{FB}}} \right) \Rightarrow \frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{BF}} = \frac{2}{{BE}}\] (ĐPCM).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = \frac{5}{{{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}\)
\( \Rightarrow 0 < p \le \frac{5}{{\frac{7}{4}}} = \frac{{20}}{7} \Rightarrow p = 1;\,\,2\)
TH1: \(p = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.\)
TH2: \(p = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy có hai giá trị cần tìm là \(x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2};\,\,\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)
Ta có \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1 = \left( {{n^{2024}} - {n^2}} \right) + \left( {{n^{2023}} - n} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)
\( = {n^2}\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)
Ta có \(\left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left[ {{{\left( {{n^3}} \right)}^{674}} - 1} \right]\)
\( = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^3} - 1} \right).B = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).B\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\)
Lại có \({n^4} + {n^2} + 1 = {n^4} + 2{n^2} + 1 - {n^2} = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} - {n^2}\)
\( = \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\)
Vậy \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 nên \(A\) không phải là số nguyên tố.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập