Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

a) Ta có \(ME.MB = M{A^2}\)   do \(\Delta MAB\) vuông tại A có đường cao AE.

Lại có \(MH.MO = M{A^2}\)   do \(\Delta MAO\) vuông tại A có đường cao AH.

\( \Rightarrow ME.MB = MH.MO\)

\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MB}}\)\[ \Rightarrow \Delta OME \sim \Delta BMH\]

b) Ta có\(MA = MC,\,\,OA = OC\) suy ra đường thẳng \(MO\)là trung trực đoạn thẳng \(AC\)nên \(MO \bot AC\). Kéo dài \(BC\) cắt \(AM\) tại \(P\) nên \(MO//PB\)\( \Rightarrow M\) trung điểm \(AP.\)

Ta có \(\frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{BI}}{{BM}}\) và \(\frac{{IK}}{{MA}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{IK}}{{MA}} \Rightarrow IC = IK\)

Suy ra \(I\) trung điểm của đoạn thẳng \(CK\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ACI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ACK}};{S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta BCK}}\,\, \Rightarrow {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\, = \frac{1}{4}CK.AB\)

Do đoạn thẳng \(AB\)không đổi nên tổng diện tích hai tam giác \(IAC\) và \(IBC\)lớn nhất. lớn nhất khi \(C\) điểm chính giữa hay \(K\) trùng tâm \(O.\)

Khi đó tứ giác\(AOCM\) là hình vuông.

\( \Rightarrow \frac{{FI}}{{FM}} = \frac{{IC}}{{AM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow FI = \frac{1}{3}IM = \frac{1}{6}BM.\) Lại có \(B{M^2} = A{B^2} + M{A^2} = \frac{{5A{B^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{AB\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{{FI}}{{AB}} = \frac{1}{6}.\frac{{\frac{{AB\sqrt 5 }}{2}}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{12}}.\)

.c) Ta có

\[\Delta MEC \sim \Delta MCB \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{CE}}{{CB}}\]

\[\Delta MEA \sim \Delta MAB \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{EA}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}}.\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{EA}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(1).\]

.Mặt khác

\[\Delta FEC \sim \Delta FAB \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{CE}}{{AB}}\]

\[\Delta FAE \sim \Delta FBC \Rightarrow \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AE}}{{BC}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{AB}}.\frac{{EA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{FE}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(2).\]

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{FE}}{{FB}}\,\,\]

\[ \Rightarrow \frac{{MB - EB}}{{MB}} = \frac{{EB - FB}}{{FB}}\,\, \Rightarrow 1 - \frac{{EB}}{{MB}} = \frac{{EB}}{{FB}} - 1 \Rightarrow 2 = \,\frac{{EB}}{{MB}} + \frac{{EB}}{{FB}}\]

\[ \Rightarrow 2 = EB\left( {\frac{1}{{MB}} + \frac{1}{{FB}}} \right) \Rightarrow \frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{BF}} = \frac{2}{{BE}}\] (ĐPCM).