Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC
a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOED cắt đường tròn (O) tại điêmt thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến đường tròn (O) và \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\]
c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A,F,G thẳng hang
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC
a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOED cắt đường tròn (O) tại điêmt thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến đường tròn (O) và \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\]
c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A,F,G thẳng hang
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Xét tứ giác \[AOED\], ta có: \[\widehat {OAD} = 90^\circ \] (tính chất tiếp tuyến )
\[\widehat {OED} = 90^\circ \]( giả thuyết )
\[ \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OED} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Vậy tứ giác \[AOED\]nội tiếp đường tròn
b)Ta có \[AOFD\] là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {OFD} = 90^\circ \]
Suy ra \[DF\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]
Xét \[\Delta DFB\] và \[\Delta DCF\], ta có:
\[\widehat D\]:góc chung
\[\widehat {DFB} = \widehat {DCF}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Suy ra: \[\Delta DFB \sim \Delta DCF(g - g) \Rightarrow \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta DAB\] và \[\Delta DCA\], ta có:
\[\widehat D\]:góc chung
\[\widehat {DAB} = \widehat {ACB}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Suy ra: \[\Delta DAB \sim \Delta DCA(g - g) \Rightarrow \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 2 \right)\]
Vì \[DF = DA\] ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]
c)Ta có: \[GC = GB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\[OC = OB\] (bán kính)
Nên \[OG\] là đường trung trực của \[BC\], suy ra \[OG \bot BC\]
Mặt khác: \[OE \bot BC\], nên ba điểm \[O,E,G\] thẳng hàng.
Ta có: \[OA = {\rm{OF; DA = DF}}\]; nên \[{\rm{OD}}\] là đường trung trực của \[{\rm{AF}}\]
Do đó \[{\rm{OD}} \bot {\rm{AF}}\] tại \[H\](5)
Tam giác \[OCG\] vuông tại \[C\] nên \[OE.OG = O{C^2}\]
Tam giác \[OAD\] vuông tại \[H\] nên \[O{A^2} = OH.OD\]
Mà \[OA = OC\] nên \[OE.OG = OH.OD\]. Suy ra \[EHDG\] là tứ giác nội tiếp.
Mà \[\widehat {GED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {GHD} = 90^\circ \] (6)
Từ (5) và (6), suy ra \[A,F,G\] thẳng hàng.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB = 800\pi \]
Khi quay tam giác \[OBC\] một vòng cạnh \[OC\] cố định thì
\[{V_2} = \frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC = 1920\pi \]
Ta có: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB}}{{\frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC}} = \frac{{800\pi }}{{1920\pi }} \Leftrightarrow \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{5}{{12}} \Rightarrow OC = \frac{5}{{12}}OB\]
Suy ra: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{5}{{12}}.OB} \right)^2}.OB = 800\pi \Rightarrow \frac{{25}}{{144}}.O{B^2} = 2400 \Rightarrow OB = 24(cm)\]
Do đó: \[OC = \frac{5}{{12}}.OB = \frac{5}{{12}}.24 = 10\left( {cm} \right)\]
Vậy độ dài của \[OB\] và \[OC\] lần lượt là \[24\left( {cm} \right)\] và \[10\left( {cm} \right)\]
Lời giải
Gọi \[x\] là vận tốc của người đi xe đạp đi từ A đến B \[(x > 0)\]
\[x + 3\]là vận tốc của người đi xe đạp đi từ B đến A
Thời gian của Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: \[\frac{{36}}{x}\] (giờ)
người đi xe đạp kho đi từ B đến A là: \[\frac{{36}}{{x + 3}}\] (giờ)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút nên ta có phương trình:
\[\frac{{36}}{x} = \frac{{36}}{{x + 3}} + \frac{{36}}{{60}}\]
Giải phương trình, ta được:
\[x = 12\] (thỏa mãn) \[x = - 15\] (loại)
Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: \[12km/h\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập