Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC
a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOED cắt đường tròn (O) tại điêmt thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến đường tròn (O) và \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\]
c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A,F,G thẳng hang
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC
a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOED cắt đường tròn (O) tại điêmt thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến đường tròn (O) và \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\]
c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A,F,G thẳng hang
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Xét tứ giác \[AOED\], ta có: \[\widehat {OAD} = 90^\circ \] (tính chất tiếp tuyến )
\[\widehat {OED} = 90^\circ \]( giả thuyết )
\[ \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OED} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Vậy tứ giác \[AOED\]nội tiếp đường tròn
b)Ta có \[AOFD\] là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {OFD} = 90^\circ \]
Suy ra \[DF\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]
Xét \[\Delta DFB\] và \[\Delta DCF\], ta có:
\[\widehat D\]:góc chung
\[\widehat {DFB} = \widehat {DCF}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Suy ra: \[\Delta DFB \sim \Delta DCF(g - g) \Rightarrow \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta DAB\] và \[\Delta DCA\], ta có:
\[\widehat D\]:góc chung
\[\widehat {DAB} = \widehat {ACB}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Suy ra: \[\Delta DAB \sim \Delta DCA(g - g) \Rightarrow \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 2 \right)\]
Vì \[DF = DA\] ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]
c)Ta có: \[GC = GB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\[OC = OB\] (bán kính)
Nên \[OG\] là đường trung trực của \[BC\], suy ra \[OG \bot BC\]
Mặt khác: \[OE \bot BC\], nên ba điểm \[O,E,G\] thẳng hàng.
Ta có: \[OA = {\rm{OF; DA = DF}}\]; nên \[{\rm{OD}}\] là đường trung trực của \[{\rm{AF}}\]
Do đó \[{\rm{OD}} \bot {\rm{AF}}\] tại \[H\](5)
Tam giác \[OCG\] vuông tại \[C\] nên \[OE.OG = O{C^2}\]
Tam giác \[OAD\] vuông tại \[H\] nên \[O{A^2} = OH.OD\]
Mà \[OA = OC\] nên \[OE.OG = OH.OD\]. Suy ra \[EHDG\] là tứ giác nội tiếp.
Mà \[\widehat {GED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {GHD} = 90^\circ \] (6)
Từ (5) và (6), suy ra \[A,F,G\] thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB = 800\pi \]
Khi quay tam giác \[OBC\] một vòng cạnh \[OC\] cố định thì
\[{V_2} = \frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC = 1920\pi \]
Ta có: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB}}{{\frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC}} = \frac{{800\pi }}{{1920\pi }} \Leftrightarrow \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{5}{{12}} \Rightarrow OC = \frac{5}{{12}}OB\]
Suy ra: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{5}{{12}}.OB} \right)^2}.OB = 800\pi \Rightarrow \frac{{25}}{{144}}.O{B^2} = 2400 \Rightarrow OB = 24(cm)\]
Do đó: \[OC = \frac{5}{{12}}.OB = \frac{5}{{12}}.24 = 10\left( {cm} \right)\]
Vậy độ dài của \[OB\] và \[OC\] lần lượt là \[24\left( {cm} \right)\] và \[10\left( {cm} \right)\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Khi \[m = - 2\], phương trình trở thành \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]
Ta có: \[a = 1,b = - 2,c = - 3\]
Vì \[a - b + c = 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = - 1,{x_2} = 3\]
Vậy khi, phương trình (1) có hai nghiệm là: \[{x_1} = - 1,{x_2} = 3\]
b)Ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 1.(2m + 1)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 4m + 8\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2.2m + {2^2} + 4\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\]
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \[m\]
c)Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2(m + 3)}}{1} = 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m + 1}}{1} = 2m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}(3)} \right.\]
Theo đề bài, ta có: \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 10\]
Thay (3) vào phương trình, ta có:
\[\begin{array}{l}{\left[ {2\left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 2\left( {2m + 1} \right) - 2.2(m + 3) = 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 2\left( {2m + 1} \right) - 4\left( {m + 3} \right) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m + 36 - 4m - 2 - 4m - 12 - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 12 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\]
Ta có: \[4 - 16 + 12 = 0\] nên phương trình (*) có 2 nghiệm là \[{m_1} = - 1;{m_2} = - 3\]
Vậy, với \[m = - 1\] hoặc \[m = - 3\] thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập