Cho hai hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \((P)\).

a) Vẽ đồ thị \((P)\).

b) Đường thẳng \(y =  - x + b\) (với \(b > 0\)) lần lượt cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại \(E,\,\,F\). Chứng minh rằng tam giác \(OEF\) vuông cân và tìm \(b\) để tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \((P)\), với \(O\) là gốc tọa độ.

Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ; 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\);

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là \(y\) (giờ) \(\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong \(1\) giờ, đội A làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội B làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Suy ra trong \(1\) giờ hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ xong công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ và đội B làm \(2\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: \[\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\]    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = u\\\frac{1}{y} = v\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.

Gọi số thứ nhất là \(a\), số thứ hai là \(b\) (\(0 < a,\,\,b < 23\)).

Theo đề bài:

• Tổng của hai số bằng \(23\), ta có phương trình: \(a + b = 23\);

• Hai lần số này hơn số kia \(1\) đơn vị, ta có phương trình: \(2a - b = 1\).

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\2a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\3a = 24\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\,\,(TM)\\b = 15\,\,(TM)\end{array} \right.\).

Vậy số thứ nhất là \(8\), số thứ hai là \(15\).