Cho hai hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \((P)\).

a) Vẽ đồ thị \((P)\).

b) Đường thẳng \(y =  - x + b\) (với \(b > 0\)) lần lượt cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại \(E,\,\,F\). Chứng minh rằng tam giác \(OEF\) vuông cân và tìm \(b\) để tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \((P)\), với \(O\) là gốc tọa độ.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình (*) ta được:

\({x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x - {1^2} - 2\,.\,1 + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy khi \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

b) Ta có \[\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right)\]

           \[ = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m - 5\]

           \[ = 4m - 4\].

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt x\({x_1},\,\,{x_2}\) thì xxx\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Ta có x\(\sqrt {4x_1^2 + 4m{x_1} + {m^2}}  + \sqrt {x_2^2 + 4m{x_2} + 4{m^2}}  = 7m + 2\)

xxx\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{x_1} + m} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 2m} \right)}^2}}  = 7m + 2\)

xxx\( \Leftrightarrow \left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)

Áp dụng định lí Vi-et, ta có :

xxxxxx\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2 > 0\,\,({\rm{do}}\,\,m > 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall m\end{array} \right.\]

xxxxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\,\,\end{array} \right.\forall m > 1\]

xxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + m > 0\\{x_2} + 2m > 0\,\,\end{array} \right.\forall m\].

Khi đó, ta có:

xxxx\(\left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + m + {x_2} + 2m = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} + 3m = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 4m + 2\)

xx\( \Leftrightarrow 2m + 2 + {x_1} = 4m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow {x_1} = 2m\)

xxxxx\[ \Rightarrow {x_2} = 2m + 2 - {x_1} = 2\]

xxxx\[ \Rightarrow {x_1}{x_2} = 4m = {m^2} - 2m + 5\]

xxxx\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0\]  xxxxx\(\left( {**} \right)\)

Ta có xxxx\(a + b + c = 1 + ( - 6) + 5 = 0\) nên phương trình xx\(\left( {**} \right)\) có hai nghiệm phân biệt xxxx\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = 1\,\,{\rm{(KTM)}}\\{m_2} = 5\,\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\).

Vậy để xxx\(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì xxxx\(m = 5\).

Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ; 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\);

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là \(y\) (giờ) \(\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong \(1\) giờ, đội A làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội B làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Suy ra trong \(1\) giờ hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ xong công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ và đội B làm \(2\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: \[\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\]    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = u\\\frac{1}{y} = v\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.