Tổng của hai số bằng \(23\). Hai lần số này lớn hơn số kia \(1\) đơn vị. Tìm hai số đó.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình (*) ta được:

\({x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x - {1^2} - 2\,.\,1 + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy khi \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

b) Ta có \[\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right)\]

           \[ = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m - 5\]

           \[ = 4m - 4\].

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt x\({x_1},\,\,{x_2}\) thì xxx\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Ta có x\(\sqrt {4x_1^2 + 4m{x_1} + {m^2}}  + \sqrt {x_2^2 + 4m{x_2} + 4{m^2}}  = 7m + 2\)

xxx\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{x_1} + m} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 2m} \right)}^2}}  = 7m + 2\)

xxx\( \Leftrightarrow \left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)

Áp dụng định lí Vi-et, ta có :

xxxxxx\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2 > 0\,\,({\rm{do}}\,\,m > 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall m\end{array} \right.\]

xxxxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\,\,\end{array} \right.\forall m > 1\]

xxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + m > 0\\{x_2} + 2m > 0\,\,\end{array} \right.\forall m\].

Khi đó, ta có:

xxxx\(\left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + m + {x_2} + 2m = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} + 3m = 7m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 4m + 2\)

xx\( \Leftrightarrow 2m + 2 + {x_1} = 4m + 2\)

xxxx\( \Leftrightarrow {x_1} = 2m\)

xxxxx\[ \Rightarrow {x_2} = 2m + 2 - {x_1} = 2\]

xxxx\[ \Rightarrow {x_1}{x_2} = 4m = {m^2} - 2m + 5\]

xxxx\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0\]  xxxxx\(\left( {**} \right)\)

Ta có xxxx\(a + b + c = 1 + ( - 6) + 5 = 0\) nên phương trình xx\(\left( {**} \right)\) có hai nghiệm phân biệt xxxx\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = 1\,\,{\rm{(KTM)}}\\{m_2} = 5\,\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\).

Vậy để xxx\(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì xxxx\(m = 5\).

Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ; 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\);

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là \(y\) (giờ) \(\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong \(1\) giờ, đội A làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội B làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Suy ra trong \(1\) giờ hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ xong công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ và đội B làm \(2\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: \[\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\]    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = u\\\frac{1}{y} = v\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.