Tổng của hai số bằng \(23\). Hai lần số này lớn hơn số kia \(1\) đơn vị. Tìm hai số đó.

Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ; 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\);

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là \(y\) (giờ) \(\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong \(1\) giờ, đội A làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội B làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Suy ra trong \(1\) giờ hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ xong công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ và đội B làm \(2\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: \[\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\]    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = u\\\frac{1}{y} = v\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.

Ta có \(A = \sqrt 4  + \sqrt {20}  - \sqrt 5  - 2\)

      \( = \sqrt {{2^2}}  + \sqrt {{2^2}\,.\,5}  - \sqrt 5  - 2\)

      \( = 2 + 2\sqrt 5  - \sqrt 5  - 2\)

      \[ = \left( {2 - 2} \right) + \left( {2\sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)\]

      \[ = \sqrt 5 \]

Vậy \[A = \sqrt 5 \].