Giải phương trình: $\left(x+4\right)\left(x-2\right)=2\sqrt{x^2+2x-5}$

Ta có \(\frac{1}{{2a + b + c}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{{\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{bc}}{{2a + b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\)               (1)

Tương tự, ta có

\(\frac{{ac}}{{2b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{b + a}}} \right)\)             (2)

\(\frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}}} \right)\).            (3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được

$\begin{array}{l}VT\le \frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{b+c}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\\ =\frac{1}{4}\left[\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ab}{a+c}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]=\frac{a+b+c}{4}.\end{array}$

Ta có \(\Delta = {m^2} + 560 > 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5} & & \left( 1 \right)\\{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{{28}}{5} & & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và giả thiết ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5}\\5{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \frac{{m + 1}}{3}\\{x_1} = \frac{{2m + 5}}{{15}}\end{array} \right.\)

Thay các giá trị \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) vừa tìm được vào \(\left( 2 \right)\) ta được

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{2m + 5}}{{15}}} \right)\left( { - \frac{{m + 1}}{3}} \right) = - \frac{{28}}{5} \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m + 5 = 252\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m - 247 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 13\\m = \frac{{19}}{2}.\end{array} \right.\)