a) Cho một bảng gồm \(2023\) hàng, \(2023\) cột. Các hàng được đánh số từ \(1\) đến \(2023\) từ trên xuống dưới; các cột đánh số từ \(1\) đến \(2023\) từ trái qua phải. Viết các số tự nhiên liên tiếp \(0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2, \ldots \)vào các ô của bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên). Hỏi số \(2024\) được viết ở hàng nào, cột nào? Vì sao?
b) Cho \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số dương. Chứng minh:
\(\frac{{bc}}{{2a + b + c}} + \frac{{ca}}{{2b + c + a}} + \frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Theo quy luật: Đánh số thứ tự các đường chéo như số thứ tự các hàng - Đường chéo thứ nhất viết 1 số (số \(0\)) - Đường chéo thứ hai viết 2 số (từ 1 đến 2) ... - Đường chéo thứ \(n\) viết \(n\) số. |
|
Vậy với \(n\) đường chéo đầu tiên ta đã viết được \(1 + 2 + \cdots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) số (bắt đầu từ số \(0\))
Lại có \(2016 = \frac{{63 \cdot 64}}{2} < 2024 < \frac{{64 \cdot 65}}{2} = 2080\). Do đó với \(63\) đường chéo ta đã viết được \(2016\)số từ \(0\)đến \(2015\).
Vậy các số tiếp theo \(2016,{\rm{ }}\)\(2017,{\rm{ }}\)\(2018,{\rm{ }}\)\(2019,{\rm{ }}\)\(2020,{\rm{ }}\)\(2021,{\rm{ }}\)\(2022,\)\(2023,{\rm{ }}2024\) sẽ được viết ở đường chéo thứ \(64\).
Kể từ đường chéo thứ hai, tính từ trái qua phải, từ dưới lên trên, ta thấy đường chéo mang số lẻ thì tăng dần, đường chéo mang số chẵn thì giảm dần. Vậy số 2016 thì ở đầu cột 64, hàng 1.
Vậy số 2024 được viết ở cột 56, hàng 9.
b) Chứng minh được bất đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\)
Ta có \(\frac{1}{{2a + b + c}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{{\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{bc}}{{2a + b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\) (1)
Tương tự, ta có
\(\frac{{ac}}{{2b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{b + a}}} \right)\) (2)
\(\frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}}} \right)\). (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0 & & (1)\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} & (2)\end{array} \right.\]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \ge 0\\x + 4y + 1 \ge 0.\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \[2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\]
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {7 - 3y} \right)x + {y^2} - 5y + 6 = 0\) (*)
Ta xem (*) là phương trình bậc hai theo biến \(x\). Biệt thức
Phương trình (*) có hai nghiệm
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3y - 7 + y - 1}}{4} = y - 2\\x = \frac{{3y - 7 - \left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{y - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 3.\end{array} \right.\)
+) Với \(y = x + 2\), thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được:
\(3{x^2} + 5x + 5 = \sqrt {3x + 4} + \sqrt {5x + 9} \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + \left[ {\left( {x + 2} \right) - \sqrt {3x + 4} } \right] + \left[ {\left( {x + 3} \right) - \sqrt {5x + 9} } \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + x} \right) + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 3 + \sqrt {5x + 9} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left[ {3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }}} \right] = 0\) (**)
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\5x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{4}{3}\), ta có
\(3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }} > 0\)
Do đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 & \Rightarrow y = 2\\x = - 1 & \Rightarrow y = 1.\end{array} \right.\)
+) Với \(y = 2x + 3\), thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được
\(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {9x + 13} + 3x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4x + 5} - 1} \right) + \left( {\sqrt {9x + 13} - 2} \right) + 3x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{{9\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3\left( {x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3} \right] = 0\) (***)
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5 \ge 0\\9x + 13 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{4}\), ta có
\(\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3 > 0\).
Do đó \(\left( {***} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 1.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - 1;1} \right)} \right\}\).Lời giải
Ta có \(\Delta = {m^2} + 560 > 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) phân biệt.
Theo định lí Vi-ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5} & & \left( 1 \right)\\{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{{28}}{5} & & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và giả thiết ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5}\\5{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \frac{{m + 1}}{3}\\{x_1} = \frac{{2m + 5}}{{15}}\end{array} \right.\)
Thay các giá trị \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) vừa tìm được vào \(\left( 2 \right)\) ta được
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{2m + 5}}{{15}}} \right)\left( { - \frac{{m + 1}}{3}} \right) = - \frac{{28}}{5} \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m + 5 = 252\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m - 247 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 13\\m = \frac{{19}}{2}.\end{array} \right.\)
Vậy các giá trị \(m\) cần tìm là \(m = - 13;{\rm{ }}m = - \frac{{19}}{2}.\)Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập