Cho đoạn thẳng \(AB\) và \(C\)là điểm nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \(BC > AC\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(AB\), vẽ nửa đường tròn đường kính \(AB\) và nửa đường tròn đường kính \(BC\). Lấy điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(BC\) (\(M \ne B\), \(M \ne C\)). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(BC\)\(\left( {H \in BC} \right)\), đường thẳng \(MH\) cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(K\). Hai đường thẳng \(AK\) và \(CM\) cắt nhau tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \(BMKE\) nội tiếp và \(B{E^2} = BA \cdot BC\).
b) Từ \(C\) kẻ \(CN\) vuông góc với \(AB\) (\(N\)thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\)), gọi \(P\) là giao điểm của \(NK\)và \(CE\). Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \(BNE\) và \(PNE\) cùng nằm trên đường thẳng \(BP\).
Cho đoạn thẳng \(AB\) và \(C\)là điểm nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \(BC > AC\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(AB\), vẽ nửa đường tròn đường kính \(AB\) và nửa đường tròn đường kính \(BC\). Lấy điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(BC\) (\(M \ne B\), \(M \ne C\)). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(BC\)\(\left( {H \in BC} \right)\), đường thẳng \(MH\) cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(K\). Hai đường thẳng \(AK\) và \(CM\) cắt nhau tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \(BMKE\) nội tiếp và \(B{E^2} = BA \cdot BC\).
b) Từ \(C\) kẻ \(CN\) vuông góc với \(AB\) (\(N\)thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\)), gọi \(P\) là giao điểm của \(NK\)và \(CE\). Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \(BNE\) và \(PNE\) cùng nằm trên đường thẳng \(BP\).Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \(\widehat {BME} = \widehat {BKE} = {90^ \circ }\) nên tứ giác \(BMKE\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {HKB} = \widehat {CEB}\)
mà \(\widehat {HKB} = \widehat {BAE}\) (cùng phụ với \(\widehat {HKA}\))
\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CEB}\).
\(\Delta BEC\) đồng dạng với \(\Delta BAE\) (vì \(\widehat {ABE}\) chung và \(\widehat {BAE} = \widehat {CEB}\))
Do đó \(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{BE}} \Rightarrow B{E^2} = BC \cdot AB\).b) Xét tam giác vuông \(ABN\)có \(CN \bot AB \Rightarrow B{N^2} = BC \cdot AB\)
mà \(B{E^2} = BC \cdot AB\) suy ra \(BN = BE\) hay \(\Delta BNE\) cân tại \(B\), suy ra \(\widehat {BNE} = \widehat {BEN}\). \(\left( 1 \right)\)
Mặt khác, theo câu trên ta có \(\widehat {CEB} = \widehat {BAE}\) và \(\widehat {BAE} = \widehat {BNP}\) suy ra \(\widehat {CEB} = \widehat {BNP}\). (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {PNE} = \widehat {PEN}\) hay \(\Delta PNE\) cân tại \(P\) \( \Rightarrow NP = PE\).
Vì \(NP = PE\) và \(BN = BE\) nên \(BP \bot NE\).
Suy ra \(BP\) là đường phân giác của các góc \(\widehat {EBN}\) và \(\widehat {EPN}\).
Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác \(BNE\) và \(PNE\) cùng nằm trên đường thẳng \(BP\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow & {x^2} - {x^2}{y^2} + xy + {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow & \left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0 & \left( 1 \right)\end{array}\)
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: \(1 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\).
· Với \(y = 1\) ta có \({x^2} + x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = - 1\).
· Với \(y = - 1\) ta có \({x^2} - x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)
Trường hợp 2: \(1 - {y^2} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ne 1\\y \ne - 1.\end{array} \right.\)
Xét phương trình bậc hai \(\left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0\), có
\({\Delta _x} = {y^2} - 4\left( {1 - {y^2}} \right){y^2} = {y^2}\left( {4{y^2} - 3} \right).\)
· Nếu \(y = 0\) ta có \(x = 0.\)
· Nếu \(y \ne 0\), phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(4{y^2} - 3\) là số chính phương.
Đặt \(4{y^2} - 3 = {k^2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
\(4{y^2} - 3 = {k^2} \Leftrightarrow \left( {2y - k} \right)\left( {2y + k} \right) = 3\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm \(\left( {0;0} \right),{\rm{ }}\left( {1; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).\)b) Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(p\) là số lẻ, ta có \(p = 2k + 1\)
(\(k \in \mathbb{N},{\rm{ }}k > 1\)).
Do đó ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 2k\left( {2k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}8\)
· Nếu \(p = 3k \Rightarrow p = 3\) (loại vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\)).
· Nếu \(p = 3k + 1\), ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3\).
· Nếu \(p = 3k + 2\), ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3\).
Vì \(\gcd \left( {3;8} \right) = 1\) nên \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}24\) với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Theo quy luật: Đánh số thứ tự các đường chéo như số thứ tự các hàng - Đường chéo thứ nhất viết 1 số (số \(0\)) - Đường chéo thứ hai viết 2 số (từ 1 đến 2) ... - Đường chéo thứ \(n\) viết \(n\) số. |
|
Vậy với \(n\) đường chéo đầu tiên ta đã viết được \(1 + 2 + \cdots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) số (bắt đầu từ số \(0\))
Lại có \(2016 = \frac{{63 \cdot 64}}{2} < 2024 < \frac{{64 \cdot 65}}{2} = 2080\). Do đó với \(63\) đường chéo ta đã viết được \(2016\)số từ \(0\)đến \(2015\).
Vậy các số tiếp theo \(2016,{\rm{ }}\)\(2017,{\rm{ }}\)\(2018,{\rm{ }}\)\(2019,{\rm{ }}\)\(2020,{\rm{ }}\)\(2021,{\rm{ }}\)\(2022,\)\(2023,{\rm{ }}2024\) sẽ được viết ở đường chéo thứ \(64\).
Kể từ đường chéo thứ hai, tính từ trái qua phải, từ dưới lên trên, ta thấy đường chéo mang số lẻ thì tăng dần, đường chéo mang số chẵn thì giảm dần. Vậy số 2016 thì ở đầu cột 64, hàng 1.
Vậy số 2024 được viết ở cột 56, hàng 9.
b) Chứng minh được bất đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\)
Ta có \(\frac{1}{{2a + b + c}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{{\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{bc}}{{2a + b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\) (1)
Tương tự, ta có
\(\frac{{ac}}{{2b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{b + a}}} \right)\) (2)
\(\frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}}} \right)\). (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập