a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\).
b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho \(24\).
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\).
b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho \(24\).Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow & {x^2} - {x^2}{y^2} + xy + {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow & \left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0 & \left( 1 \right)\end{array}\)
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: \(1 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\).
· Với \(y = 1\) ta có \({x^2} + x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = - 1\).
· Với \(y = - 1\) ta có \({x^2} - x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)
Trường hợp 2: \(1 - {y^2} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ne 1\\y \ne - 1.\end{array} \right.\)
Xét phương trình bậc hai \(\left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0\), có
\({\Delta _x} = {y^2} - 4\left( {1 - {y^2}} \right){y^2} = {y^2}\left( {4{y^2} - 3} \right).\)
· Nếu \(y = 0\) ta có \(x = 0.\)
· Nếu \(y \ne 0\), phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(4{y^2} - 3\) là số chính phương.
Đặt \(4{y^2} - 3 = {k^2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
\(4{y^2} - 3 = {k^2} \Leftrightarrow \left( {2y - k} \right)\left( {2y + k} \right) = 3\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm \(\left( {0;0} \right),{\rm{ }}\left( {1; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).\)b) Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(p\) là số lẻ, ta có \(p = 2k + 1\)
(\(k \in \mathbb{N},{\rm{ }}k > 1\)).
Do đó ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 2k\left( {2k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}8\)
· Nếu \(p = 3k \Rightarrow p = 3\) (loại vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\)).
· Nếu \(p = 3k + 1\), ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3\).
· Nếu \(p = 3k + 2\), ta có \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3\).
Vì \(\gcd \left( {3;8} \right) = 1\) nên \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}24\) với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\).Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
a) \(P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{1 - \sqrt a }}{\rm{ }}\) \( = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{a - 1}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{a - 4}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) \( = \frac{{a + 3\sqrt a + 2}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) \( = \frac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}.\) |
|
b) \(P = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt a - 1}}\). Ta có \(P \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(\frac{2}{{\sqrt a - 1}} \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 = - 1\\\sqrt a - 1 = - 2\\\sqrt a - 1 = 1\\\sqrt a - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0{\rm{ (N)}}\\{\rm{VN}}\\a = 4{\rm{ }}\left( {\rm{N}} \right)\\a = 9{\rm{ (N)}}{\rm{.}}\end{array} \right.{\rm{ }}\) Vậy \(a = 0;{\rm{ }}a = 4;{\rm{ }}a = 9\)thì \(P \in \mathbb{Z}\). |
Lời giải
\[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0 & & (1)\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} & (2)\end{array} \right.\]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \ge 0\\x + 4y + 1 \ge 0.\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \[2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\]
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {7 - 3y} \right)x + {y^2} - 5y + 6 = 0\) (*)
Ta xem (*) là phương trình bậc hai theo biến \(x\). Biệt thức
Phương trình (*) có hai nghiệm
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3y - 7 + y - 1}}{4} = y - 2\\x = \frac{{3y - 7 - \left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{y - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 3.\end{array} \right.\)
+) Với \(y = x + 2\), thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được:
\(3{x^2} + 5x + 5 = \sqrt {3x + 4} + \sqrt {5x + 9} \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + \left[ {\left( {x + 2} \right) - \sqrt {3x + 4} } \right] + \left[ {\left( {x + 3} \right) - \sqrt {5x + 9} } \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + x} \right) + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 3 + \sqrt {5x + 9} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left[ {3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }}} \right] = 0\) (**)
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\5x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{4}{3}\), ta có
\(3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }} > 0\)
Do đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 & \Rightarrow y = 2\\x = - 1 & \Rightarrow y = 1.\end{array} \right.\)
+) Với \(y = 2x + 3\), thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được
\(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {9x + 13} + 3x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4x + 5} - 1} \right) + \left( {\sqrt {9x + 13} - 2} \right) + 3x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{{9\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3\left( {x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3} \right] = 0\) (***)
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5 \ge 0\\9x + 13 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{4}\), ta có
\(\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3 > 0\).
Do đó \(\left( {***} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 1.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - 1;1} \right)} \right\}\).Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập