Câu hỏi:

21/12/2025 191

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} \end{array} \right.\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bình Phước có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0 & & (1)\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} & (2)\end{array} \right.\]

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \ge 0\\x + 4y + 1 \ge 0.\end{array} \right.$

Xét phương trình $\left( 1 \right)$: \[2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\]

$ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {7 - 3y} \right)x + {y^2} - 5y + 6 = 0$ (*)

Ta xem (*) là phương trình bậc hai theo biến $x$. Biệt thức

$Δ_{x} = {(7 - 3 y)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (y^{2} - 5 y + 6) = {(y - 1)}^{2}$

Phương trình (*) có hai nghiệm

$\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3y - 7 + y - 1}}{4} = y - 2\\x = \frac{{3y - 7 - \left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{y - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 3.\end{array} \right.$

+) Với $y = x + 2$, thay vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được:

$3{x^2} + 5x + 5 = \sqrt {3x + 4} + \sqrt {5x + 9} $

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + \left[ {\left( {x + 2} \right) - \sqrt {3x + 4} } \right] + \left[ {\left( {x + 3} \right) - \sqrt {5x + 9} } \right] = 0$

$ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + x} \right) + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 3 + \sqrt {5x + 9} }} = 0$

$ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left[ {3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }}} \right] = 0$ (**)

Với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\5x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{4}{3}$, ta có

$3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }} > 0$

Do đó $\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 & \Rightarrow y = 2\\x = - 1 & \Rightarrow y = 1.\end{array} \right.$

+) Với $y = 2x + 3$, thay vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được

$\sqrt {4x + 5} + \sqrt {9x + 13} + 3x = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4x + 5} - 1} \right) + \left( {\sqrt {9x + 13} - 2} \right) + 3x + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{{9\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3\left( {x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3} \right] = 0$ (***)

Với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}4x + 5 \ge 0\\9x + 13 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{4}$, ta có

$\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3 > 0$.

Do đó $\left( {***} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - 1;1} \right)} \right\}$.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$.
b) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)$ chia hết cho $24$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow & {x^2} - {x^2}{y^2} + xy + {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow & \left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0 & \left( 1 \right)\end{array}$

Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $1 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1$.

· Với $y = 1$ ta có ${x^2} + x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = - 1$.

· Với $y = - 1$ ta có ${x^2} - x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.$

Trường hợp 2: $1 - {y^2} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ne 1\\y \ne - 1.\end{array} \right.$

Xét phương trình bậc hai $\left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0$, có

${\Delta _x} = {y^2} - 4\left( {1 - {y^2}} \right){y^2} = {y^2}\left( {4{y^2} - 3} \right).$

· Nếu $y = 0$ ta có $x = 0.$

· Nếu $y \ne 0$, phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $4{y^2} - 3$ là số chính phương.

Đặt $4{y^2} - 3 = {k^2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

$4{y^2} - 3 = {k^2} \Leftrightarrow \left( {2y - k} \right)\left( {2y + k} \right) = 3$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm $\left( {0;0} \right),{\rm{ }}\left( {1; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).$

b) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ, ta có $p = 2k + 1$

($k \in \mathbb{N},{\rm{ }}k > 1$).

Do đó ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 2k\left( {2k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}8$

· Nếu $p = 3k \Rightarrow p = 3$ (loại vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$).

· Nếu $p = 3k + 1$, ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3$.

· Nếu $p = 3k + 2$, ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3$.

Vì $\gcd \left( {3;8} \right) = 1$ nên $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}24$ với $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.

Câu 2

a) Cho một bảng gồm $2023$ hàng, $2023$ cột. Các hàng được đánh số từ $1$ đến $2023$ từ trên xuống dưới; các cột đánh số từ $1$ đến $2023$ từ trái qua phải. Viết các số tự nhiên liên tiếp $0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2, \ldots $vào các ô của bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên). Hỏi số $2024$ được viết ở hàng nào, cột nào? Vì sao?

$a) Cho một bảng gồm $2023$ hàng, $2023$ cột. Các hàng được đánh số từ (ảnh 1)$

b) Cho $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số dương. Chứng minh:
$\frac{{bc}}{{2a + b + c}} + \frac{{ca}}{{2b + c + a}} + \frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

Theo quy luật: Đánh số thứ tự các đường chéo như số thứ tự các hàng

- Đường chéo thứ nhất viết 1 số (số $0$)

- Đường chéo thứ hai viết 2 số (từ 1 đến 2)

...

- Đường chéo thứ $n$ viết $n$ số.

0	1	5	6	14	15
2	4	7	13	16
3	8	12	17
9	11	18
10	19
20
21

Vậy với $n$ đường chéo đầu tiên ta đã viết được $1 + 2 + \cdots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ số (bắt đầu từ số $0$)

Lại có $2016 = \frac{{63 \cdot 64}}{2} < 2024 < \frac{{64 \cdot 65}}{2} = 2080$. Do đó với $63$ đường chéo ta đã viết được $2016$số từ $0$đến $2015$.

Vậy các số tiếp theo $2016,{\rm{ }}$$2017,{\rm{ }}$$2018,{\rm{ }}$$2019,{\rm{ }}$$2020,{\rm{ }}$$2021,{\rm{ }}$$2022,$$2023,{\rm{ }}2024$ sẽ được viết ở đường chéo thứ $64$.

Kể từ đường chéo thứ hai, tính từ trái qua phải, từ dưới lên trên, ta thấy đường chéo mang số lẻ thì tăng dần, đường chéo mang số chẵn thì giảm dần. Vậy số 2016 thì ở đầu cột 64, hàng 1.

Vậy số 2024 được viết ở cột 56, hàng 9.

b) Chứng minh được bất đẳng thức $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.$

Ta có $\frac{1}{{2a + b + c}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{{\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)$

$ \Rightarrow \frac{{bc}}{{2a + b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)$ (1)

Tương tự, ta có

$\frac{{ac}}{{2b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{b + a}}} \right)$ (2)

$\frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}}} \right)$. (3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được

$\begin{array}{l} V T \leq \frac{1}{4} (\frac{b c}{a + b} + \frac{b c}{a + c} + \frac{a c}{b + c} + \frac{a c}{b + a} + \frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c}) \\ = \frac{1}{4} [(\frac{b c}{a + b} + \frac{c a}{a + b}) + (\frac{b c}{a + c} + \frac{a b}{a + c}) + (\frac{c a}{b + c} + \frac{a b}{b + c})] = \frac{a + b + c}{4} . \end{array}$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c.$

Câu 3

a) Cho phương trình $5{x^2} + mx - 28 = 0$, $m$ là tham số.
Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ phân biệt thỏa mãn $5{x_1} + 2{x_2} = 1$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đoạn thẳng $AB$ và $C$là điểm nằm trên đoạn $AB$ sao cho $BC > AC$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$, vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC$. Lấy điểm $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$ ($M \ne B$, $M \ne C$). Kẻ $MH$ vuông góc với $BC$$\left( {H \in BC} \right)$, đường thẳng $MH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $K$. Hai đường thẳng $AK$ và $CM$ cắt nhau tại $E$.

a) Chứng minh tứ giác $BMKE$ nội tiếp và $B{E^2} = BA \cdot BC$.
b) Từ $C$ kẻ $CN$ vuông góc với $AB$ ($N$thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$), gọi $P$ là giao điểm của $NK$và $CE$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $BNE$ và $PNE$ cùng nằm trên đường thẳng $BP$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{1 - \sqrt a }}{\rm{ }}$với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tìm $a$ nguyên để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải phương trình: $(x + 4) (x - 2) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 5}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\).
b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho \(24\).

a) Cho phương trình \(5{x^2} + mx - 28 = 0\), \(m\) là tham số.
Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) phân biệt thỏa mãn \(5{x_1} + 2{x_2} = 1\).

Cho \(P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{1 - \sqrt a }}{\rm{ }}\)với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm \(a\) nguyên để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.

Giải phương trình: $(x + 4) (x - 2) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 5}$