Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{{\rm{x}} + {\rm{y}}}}{{\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} }}:\left( {\frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{y}} }} - \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{\rm{xy}}} + {\rm{y}}}} - \frac{{\sqrt {{\rm{xy}}} }}{{\sqrt {{\rm{xy}}} - {\rm{x}}}}} \right)\) và biểu thức \({\rm{Q}} = \frac{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - {\rm{y}}\sqrt {\rm{y}} - {\rm{x}}\sqrt {\rm{y}} + {\rm{y}}\sqrt {\rm{x}} }}{{2\left( {\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} {\rm{\;}}} \right)}}\) với \({\rm{x}} > 0,{\rm{\;y}} > 0\) và \({\rm{x}} \ne {\rm{y}}\). Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng minh rằng với các số x, y dương phân biệt tuỳ ý thì 4Q+1 > 2P.

Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở D. Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn đường kính OD tại điểm E (khác D). Gọi F là giao điểm của đoạn thẳng OE và đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng 3 điểm A, O, E thẳng hàng và CF là tia phân giác của góc BCE.

b) Các tia AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính AD tại các điểm G, K (đều khác A). Chứng minh rằng OD đi qua trung điểm của đoạn thẳng GK.

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại M. Lấy điểm E nằm giữa A và M. Trên cạnh AC, BC lần lượt lấy điểm D, F sao cho AD = AE và BF = BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF lần lượt cắt AB và BC tại G (khác E) và H (khác F). Chứng minh rằng (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF và các đường thẳng CM, ED, GH đồng quy.

a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

\(2008\left( {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2}} \right) + 15\left( {\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}}} \right) \ge 2023\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}} + {\rm{z}}} \right)\).

b) Cho phương trình \({{\rm{x}}^2} - 4{\rm{m}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}} - 4{\rm{m}}{{\rm{n}}^3} - {\rm{m}} = 0\), với m và n là các tham số. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{\rm{\;}}{{\rm{x}}_2}{\rm{\;}}\)đều là số nguyên và   \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + 1{\rm{\;}}\)là số nguyên tố.

a) Giải phương trình \(10{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 2 = \left( {6{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2} \) .

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{y}}} \right)\sqrt {{\rm{x}} - 2}  = x\left( {y - x + 2} \right)}\\{\left( {{\rm{y}} - 1} \right)\left( {{\rm{y}} - 3{\rm{x}} - 3} \right) = {{\rm{x}}^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} }\end{array}} \right.{\rm{\;}}\)

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol \(\left( {\rm{P}} \right):{\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\) và đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right):{\rm{y}} = {\rm{kx}} + 5\). Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox.

a) Khi k = -4, tính diện tích hình thanh ABDC.

b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD.