a) Giải phương trình \(10{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 2 = \left( {6{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2} \) .

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{y}}} \right)\sqrt {{\rm{x}} - 2}  = x\left( {y - x + 2} \right)}\\{\left( {{\rm{y}} - 1} \right)\left( {{\rm{y}} - 3{\rm{x}} - 3} \right) = {{\rm{x}}^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} }\end{array}} \right.{\rm{\;}}\)

a) Giải phương trình: \(10{x^2} + 3x + 2 = \left( {6x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2} \)

Cách 1: Bình phương hai vế rồi casio bậc 4.

Cách 2: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2}  \Rightarrow \) \({t^2} = {x^2} + 2\;(t > 0)\). Ta được:

\(9{x^2} + 3x + {t^2} = \left( {6x + 1} \right)t\) \( \Rightarrow \) \(\left( {9{x^2} - 6xt + {t^2}} \right) + 3x - t = 0\)\( \Rightarrow \)\({\left( {3x - t} \right)^2} + \left( {3x - t} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {3x - t} \right)\left( {3x - t + 1} \right) = 0\)\( \Rightarrow \)  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = t}\\{3x + 1 = t}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \sqrt {{x^2} + 2} }\\{3x + 1 = \sqrt {{x^2} + 2} }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^2} = {x^2} + 2\;\;\;\left( {3x \ge 0} \right)}\\{9{x^2} + 6x + 1 = {x^2} + 2\;\;\;\left( {3x + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \frac{1}{2}\;\;\;\;\;\left( {3x \ge 0} \right)}\\{8{x^2} + 6x - 1 = 0\;\;\;\;\left( {3x + 1 \ge 0} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{8}}\end{array}} \right.\)

Vây \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{8}} \right\}\)

b)Giải hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x^2} - y} \right)\sqrt {x - 2}  = x\left( {y - x + 2} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3x - 3} \right) = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Đk: \(x \ge 2\)

Xét phương trình (1):

\(\left( {{x^2} - y} \right)\sqrt {x - 2}  = x\left( {y - x + 2} \right)\) \( \Rightarrow \) \({x^2}\sqrt {x - 2}  - y\sqrt {x - 2}  = xy - x\left( {x - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) \({x^2}\sqrt {x - 2}  - xy + x\left( {x - 2} \right) - y\sqrt {x - 2}  = 0\)\( \Rightarrow \) \(x\left( {x\sqrt {x - 2}  - y} \right) + \sqrt {x - 2} \left( {x\sqrt {x - 2}  - y} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {x\sqrt {x - 2}  - y} \right)\left( {\underbrace {x + \sqrt {x - 2} }_{ > 0\;v\`i \;x \ge 2}} \right) = 0\)\( \Rightarrow \) \(x\sqrt {x - 2}  - y = 0\)

\( \Rightarrow \) \(y = x\sqrt {x - 2} \)

Xét phương trình:

\(\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3x - 3} \right) = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \) \( \Rightarrow \) \({y^2} - 3xy - 4y + 3x + 3 = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \)

\( \Rightarrow \) \({x^2}\left( {x - 2} \right) - 3{x^2}\sqrt {x - 2}  - 4x\sqrt {x - 2}  - {x^2} + 6x + 8\sqrt {x - 2}  = 0\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x} \right) - \sqrt {x - 2} \left( {3{x^2} + 4x - 8} \right) = 0\)\( \Rightarrow \) \({x^3} - 3x\left( {x - 2} \right) - \sqrt {x - 2} \left( {3{x^2} + 4x - 8} \right) = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {x - 2} \) thì \({t^2} = x - 2\) và \(4x - 8 = 4{t^2}\)

\(\left( {{x^3} - 3x{t^2}} \right) - t\left( {3{x^2} + 4{t^2}} \right) = 0\) \( \Rightarrow \) \({x^3} - 3{x^2}t - 3x{t^2} - 4{t^3} = 0\)\( \Rightarrow \) \(\left( {x - 4t} \right)\left( {{x^2} + tx + {t^2}} \right) = 0\)

Mà \({x^2} + tx + {t^2} = {\left( {x + \frac{t}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{t^2} > 0\) (dấu bằng không xảy ra)

Ta được:

\(x = 4t\) \( \Rightarrow \) \(x = 4\sqrt {x - 2} \)\( \Rightarrow \) \({x^2} = 16\left( {x - 2} \right)\)\( \Rightarrow \) \({x^2} - 16x + 32 = 0\)

\(x = 8 \pm 4\sqrt 2 \) : nhận

\(x = 8 + 4\sqrt 2  \Rightarrow y = x\sqrt {x - 2}  = \left( {8 + 4\sqrt 2 } \right).\sqrt {6 + 4\sqrt 2 }  = \left( {8 + 4\sqrt 2 } \right).\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 32 + 16\sqrt 2 \) 

\(x = 8 - 4\sqrt 2  \Rightarrow y = x\sqrt {x - 2}  = \left( {8 - 4\sqrt 2 } \right).\sqrt {6 - 4\sqrt 2 }  = \left( {8 - 4\sqrt 2 } \right).\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 32 - 16\sqrt 2 \)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4\surd 2}\\{y = 32 + 16\sqrt 2 }\end{array}\;} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 - 4\sqrt 2 }\\{y = 32 - 16\sqrt 2 }\end{array}\;} \right.\)