a) Giải phương trình \(10{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 2 = \left( {6{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2} \) .
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{y}}} \right)\sqrt {{\rm{x}} - 2} = x\left( {y - x + 2} \right)}\\{\left( {{\rm{y}} - 1} \right)\left( {{\rm{y}} - 3{\rm{x}} - 3} \right) = {{\rm{x}}^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} }\end{array}} \right.{\rm{\;}}\)
a) Giải phương trình \(10{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 2 = \left( {6{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2} \) .
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{y}}} \right)\sqrt {{\rm{x}} - 2} = x\left( {y - x + 2} \right)}\\{\left( {{\rm{y}} - 1} \right)\left( {{\rm{y}} - 3{\rm{x}} - 3} \right) = {{\rm{x}}^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} }\end{array}} \right.{\rm{\;}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Giải phương trình: \(10{x^2} + 3x + 2 = \left( {6x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2} \)
Cách 1: Bình phương hai vế rồi casio bậc 4.
Cách 2: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2} \Rightarrow \) \({t^2} = {x^2} + 2\;(t > 0)\). Ta được:
\(9{x^2} + 3x + {t^2} = \left( {6x + 1} \right)t\) \( \Rightarrow \) \(\left( {9{x^2} - 6xt + {t^2}} \right) + 3x - t = 0\)\( \Rightarrow \)\({\left( {3x - t} \right)^2} + \left( {3x - t} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {3x - t} \right)\left( {3x - t + 1} \right) = 0\)\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = t}\\{3x + 1 = t}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \sqrt {{x^2} + 2} }\\{3x + 1 = \sqrt {{x^2} + 2} }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^2} = {x^2} + 2\;\;\;\left( {3x \ge 0} \right)}\\{9{x^2} + 6x + 1 = {x^2} + 2\;\;\;\left( {3x + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{1}{2}\;\;\;\;\;\left( {3x \ge 0} \right)}\\{8{x^2} + 6x - 1 = 0\;\;\;\;\left( {3x + 1 \ge 0} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{8}}\end{array}} \right.\)
Vây \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{8}} \right\}\)
b)Giải hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x^2} - y} \right)\sqrt {x - 2} = x\left( {y - x + 2} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3x - 3} \right) = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Đk: \(x \ge 2\)
Xét phương trình (1):
\(\left( {{x^2} - y} \right)\sqrt {x - 2} = x\left( {y - x + 2} \right)\) \( \Rightarrow \) \({x^2}\sqrt {x - 2} - y\sqrt {x - 2} = xy - x\left( {x - 2} \right)\)
\( \Rightarrow \) \({x^2}\sqrt {x - 2} - xy + x\left( {x - 2} \right) - y\sqrt {x - 2} = 0\)\( \Rightarrow \) \(x\left( {x\sqrt {x - 2} - y} \right) + \sqrt {x - 2} \left( {x\sqrt {x - 2} - y} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {x\sqrt {x - 2} - y} \right)\left( {\underbrace {x + \sqrt {x - 2} }_{ > 0\;v\`i \;x \ge 2}} \right) = 0\)\( \Rightarrow \) \(x\sqrt {x - 2} - y = 0\)
\( \Rightarrow \) \(y = x\sqrt {x - 2} \)
Xét phương trình:
\(\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3x - 3} \right) = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \) \( \Rightarrow \) \({y^2} - 3xy - 4y + 3x + 3 = {x^2} - 3x + 3 - 8\sqrt {x - 2} \)
\( \Rightarrow \) \({x^2}\left( {x - 2} \right) - 3{x^2}\sqrt {x - 2} - 4x\sqrt {x - 2} - {x^2} + 6x + 8\sqrt {x - 2} = 0\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x} \right) - \sqrt {x - 2} \left( {3{x^2} + 4x - 8} \right) = 0\)\( \Rightarrow \) \({x^3} - 3x\left( {x - 2} \right) - \sqrt {x - 2} \left( {3{x^2} + 4x - 8} \right) = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {x - 2} \) thì \({t^2} = x - 2\) và \(4x - 8 = 4{t^2}\)
\(\left( {{x^3} - 3x{t^2}} \right) - t\left( {3{x^2} + 4{t^2}} \right) = 0\) \( \Rightarrow \) \({x^3} - 3{x^2}t - 3x{t^2} - 4{t^3} = 0\)\( \Rightarrow \) \(\left( {x - 4t} \right)\left( {{x^2} + tx + {t^2}} \right) = 0\)
Mà \({x^2} + tx + {t^2} = {\left( {x + \frac{t}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{t^2} > 0\) (dấu bằng không xảy ra)
Ta được:
\(x = 4t\) \( \Rightarrow \) \(x = 4\sqrt {x - 2} \)\( \Rightarrow \) \({x^2} = 16\left( {x - 2} \right)\)\( \Rightarrow \) \({x^2} - 16x + 32 = 0\)
\(x = 8 \pm 4\sqrt 2 \) : nhận
\(x = 8 + 4\sqrt 2 \Rightarrow y = x\sqrt {x - 2} = \left( {8 + 4\sqrt 2 } \right).\sqrt {6 + 4\sqrt 2 } = \left( {8 + 4\sqrt 2 } \right).\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 32 + 16\sqrt 2 \)
\(x = 8 - 4\sqrt 2 \Rightarrow y = x\sqrt {x - 2} = \left( {8 - 4\sqrt 2 } \right).\sqrt {6 - 4\sqrt 2 } = \left( {8 - 4\sqrt 2 } \right).\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 32 - 16\sqrt 2 \)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4\surd 2}\\{y = 32 + 16\sqrt 2 }\end{array}\;} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 - 4\sqrt 2 }\\{y = 32 - 16\sqrt 2 }\end{array}\;} \right.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol \(\left( {\rm{P}} \right):{\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\) và đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right):{\rm{y}} = {\rm{kx}} + 5\). Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox.
a) Khi k=-4, tính diện tích hình thanh ABDC.
b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
\({x^2} = - 4x + 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\)
\(a + b + c = 1 + 4 - 5 = 0\)
\(x = 1,\;x = - 5\)
\(x = 1 \Rightarrow y = {x^2} = 1\)
\(x = - 5 \Rightarrow y = {x^2} = 2\)
\(A\left( { - 5;25} \right)\;v\`a \;B\left( {1;1} \right)\)
Diện tích hình thanh \(ABDC:\)
\(\frac{{\left( {AC + BD} \right).CD}}{2} = \frac{{\left( {25 + 1} \right).6}}{2} = 78\) (đvdt)
b) + Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Vì I thuộc đường tròn đường kính CD nên:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow AD \bot BC\)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
\({x^2} = kx + 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - kx - 5 = 0\)
\(c.a = - 5 < 0\)
Do đó hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
Toạ độ hai giao điểm là \(A\left( {{x_1},\;{y_1}} \right)\;v\`a \;B\left( {{x_2},\;{y_2}} \right)\).
+ Theo định lí Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = k}\\{{x_1}{x_2} = - 5}\end{array}} \right.\)
+ Phương trình đường thẳng AD có dạng: \(y = ax + b\). Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = a{x_1} + b}\\{{y_D} = a{x_D} + b}\end{array}} \right.\;\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k{x_1} + 5 = a{x_1} + b}\\{0 = a{x_2} + b\;}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow k{x_1} + 5 = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) (trừ theo vế)
+ Phương trình đường thẳng BC có dạng: \(y = a'x + b'\). Tương tự như trên ta có:
\(k{x_2} + 5 = a'\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)
Nhân theo vế hai ý vừa có được:
\(\left( {k{x_1} + 5} \right)\left( {k{x_2} + 5} \right) = \mathop {\mathop { - a.a'}\limits_{} }\limits_{} .{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {k^2}{x_1}{x_2} + 5k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) \( \Leftrightarrow - 5{k^2} + 5{k^2} + 25 = {k^2} + 20\)
\( \Leftrightarrow {k^2} = 5\) \( \Leftrightarrow k = \pm \sqrt 5 \)
Vậy \(k = \pm \sqrt 5 \)
Lời giải
Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{{\rm{x}} + {\rm{y}}}}{{\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} }}:\left( {\frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{y}} }} - \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{\rm{xy}}} + {\rm{y}}}} - \frac{{\sqrt {{\rm{xy}}} }}{{\sqrt {{\rm{xy}}} - {\rm{x}}}}} \right)\) và biểu thức \({\rm{Q}} = \frac{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - {\rm{y}}\sqrt {\rm{y}} - {\rm{x}}\sqrt {\rm{y}} + {\rm{y}}\sqrt {\rm{x}} }}{{2\left( {\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} {\rm{\;}}} \right)}}\) với \({\rm{x}} > 0,{\rm{\;y}} > 0\) và \({\rm{x}} \ne {\rm{y}}\). Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng minh rằng với các số x, y dương phân biệt tuỳ ý thì 4Q+1>2P.
\(P = \sqrt x + \sqrt y \Rightarrow 2P = 2\sqrt x + 2\sqrt y \)
\(Q = \frac{{x + y}}{2} \Rightarrow 4Q + 1 = 2\left( {x + y} \right) + 1\)
Nhân hai vế của biểu thức \(4Q + 1 - 2P\) cho 2
\(2\left( {4Q + 1 - 2P} \right) = 4x + 4y + 2 - 4\sqrt x - 4\sqrt y \)
\( = {\left( {2\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {2\sqrt y - 1} \right)^2}\)
Ta có \(x \ne y \Rightarrow 2\left( {4Q + 1 - 2P} \right) > 0\)\( \Rightarrow 4Q + 1 > 2P\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập