Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{1}{{{x^3}}} = y - \frac{1}{{{y^3}}}}\\{\left( {x - 4y} \right)\left( {2x - y + 4} \right) = - 36}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

 

Đáp án

2.

Giải thích

Ta có: \(x - \frac{1}{{{x^3}}} = y - \frac{1}{{{y^3}}} \Leftrightarrow \left( {x - y} \right) = \frac{{\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)}}{{{x^3}{y^3}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{\frac{{{y^2} + xy + {x^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = - 1}\end{array}} \right.\)

TH 1. \(x = y\) thế vào phương trình thứ hai ta được \({x^2} + 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 6}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

TH 2. \(\frac{{{y^2} + xy + {x^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = - 1 \Rightarrow xy < 0\).

Ta có: \(\left( {x - 4y} \right)\left( {2x - y + 4} \right) = - 36\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 4{y^2} - 9xy + 4x - 16y = - 36\)

\( \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} + 4{(y - 2)^2} - 9xy = - 18\,\,\left( {\rm{*}} \right)\)

Vì \(xy < 0 \Rightarrow 2{(x + 1)^2} + 4{(y - 2)^2} - 9xy > 0\). Vậy \(\left( {\rm{*}} \right)\) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \({\rm{S}} = S = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( { - 6; - 6} \right)} \right\}\)