Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2}\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\) \(\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3; - 1;1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

 

Đáp án

4.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là

\(a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1 \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0.\left( {\rm{*}} \right)\)

Do đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3; - 1;1\) nên phương trình (\({\rm{*}}\)) có ba nghiệm \(x = - 3;x = - 1;x = 1\). Khi đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27a + 9\left( {b - d} \right) - 3\left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\\{ - a + \left( {b - d} \right) - \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\\{a + \left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b - d = \frac{3}{2}}\\{a = \frac{1}{2}}\\{c - e = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\).

Vậy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích là

\( = 2 + 2 = 4\).