Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B \((R < R' < OO').\) Gọi PQ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) với \(P \in \left( O \right),\;Q \in \left( {O'} \right).\) \({\rm{PQ}} \cap {\rm{OO'}} = {\rm{S}}.\) Qua S kẻ 1 đường thẳng cắt (O) tại 2 điểm E,F và cắt (O’) tại 2 điểm G,H sao cho \({\rm{SE}} < {\rm{SF}} < {\rm{SG}} < {\rm{SH}}.\)

1) Chứng minh rằng \(OE//O'G.\)

2) Chứng minh \(S{A^2} = SP.SQ.\)

Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt OO’ tại M. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt OO’ tại N. \(ME \cap AB = I.\) Chứng minh \(\frac{{E{A^2}}}{{E{B^2}}} = \frac{{IA}}{{IB}}\) và \(N,I,H\) thẳng hàng

1) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ nên \({p^2} + 2\) là số lẻ $\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 2\;\left( {mod\;3} \right)\) $\Rightarrow$ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 3\;\left( 1 \right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \({p^2} \equiv 1\left( {mod\;3} \right)\)$\Rightarrow$\({p^2} + 2 \vdots 3\)$\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 1\left( {mod\;7} \right)\)$\Rightarrow$ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 7\;\left( 2 \right)\).

Mà \(\left( {3,7} \right) = 1\) (3). Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots \) 21 (ĐPCM).

2) \({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\).

 Đặt \(x - y = a,xy = b\;\left( {{a^2} \ge  - 4b} \right)\).

Vì \(2{\left( {x - y} \right)^2} + 17 > 0\) $\Rightarrow$\({x^3} - {y^3} > 0\) $\Rightarrow$\(x - y > 0\) $\Rightarrow$\(a > 0\).

Ta có:\({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\)$\Rightarrow$ \({a^3} + 3ab = 2{a^2} + 17\) $\Rightarrow$ \(17 \vdots a\) $\Rightarrow$\(a \in \left\{ {1;17} \right\}\) (do \(a > 0\))

TH1: \(a = 1\) $\Rightarrow$ \(b = 6\) $\Rightarrow$ \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\) (thử lại thoả mãn)

TH2: \(a = 17\) $\Rightarrow$ \(b = \frac{{ - 254}}{3}\;\left( {{\rm{loai}}} \right)\)

   Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\)

1) \(2x + 2 = \left( {5 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \)  (ĐKXĐ: \(x \ge \frac{2}{3}\) )

     $\Rightarrow$ \({\left( {2x + 2} \right)^2} = {\left( {5 - x} \right)^2}\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = \left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = \left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = 3{x^3} - 32{x^2} + 95x - 50\;\)

     $\Rightarrow$ \(3{x^3} - 36{x^2} + 87x - 54 = 0\;\)

       $\Rightarrow$\(\left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\(x \in \left\{ {1;2;9} \right\}\)

    Thử lại thu được: \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\)

2)  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 3xy = 9}\\{{x^3} + {y^3} = 9}\end{array}} \right.\)

  Đặt \(x + y = a;xy = b\;\left( {{a^2} \ge 4b} \right)\)

  $\Rightarrow$ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3b = 9\;\left( 1 \right)}\\{{a^3} - 3ab = 9\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)  

   Từ (1) $\Rightarrow$ \(a = 9 - 3b\) $\Rightarrow$\({\left( {9 - 3b} \right)^3} - 3\left( {9 - 3b} \right)b = 9\;\)

$\Rightarrow$\( - 27{b^3} + 252{b^2} - 756b + 729 = 9\)$\Rightarrow$ \( - 27{b^3} + 252{b^2} - 756b + 720 = 0\)

 $\Rightarrow$ \(b \in \left\{ {2;4;\frac{{10}}{3}} \right\}\) 

 TH1: \(b = 2\) $\Rightarrow$ \(a = 3\) $\Rightarrow$ \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\)

 TH2: \(b = 4\) $\Rightarrow$ \(a =  - 3\) (loại do \({a^2} \ge 4b\). )

 TH3: \(b = \frac{{10}}{3}\) $\Rightarrow$ \(a =  - 1\) (loại do \({a^2} \ge 4b\))

 Từ các trường hợp trên $\Rightarrow$\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\) (Thử lại thoả mãn)

 Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\)