Trên bàn có hai túi kẹo: túi thứ nhất có 18 viên kẹo, túi thứ hai có 21 viên kẹo.An và Bình cùng chơi 1 trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, 1 bạn sẽ lấy đi 1 viên kẹo từ 1 túi bất kì hoặc là mỗi túi lấy đi 1 viên kẹo. 2 bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình.Người đầu tiên không thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc, người còn lại là người thắng cuộc.Nếu An là người lấy kẹo trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi của An để An là người thắng cuộc.

1) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ nên \({p^2} + 2\) là số lẻ $\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 2\;\left( {mod\;3} \right)\) $\Rightarrow$ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 3\;\left( 1 \right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \({p^2} \equiv 1\left( {mod\;3} \right)\)$\Rightarrow$\({p^2} + 2 \vdots 3\)$\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 1\left( {mod\;7} \right)\)$\Rightarrow$ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 7\;\left( 2 \right)\).

Mà \(\left( {3,7} \right) = 1\) (3). Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$\({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots \) 21 (ĐPCM).

2) \({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\).

 Đặt \(x - y = a,xy = b\;\left( {{a^2} \ge  - 4b} \right)\).

Vì \(2{\left( {x - y} \right)^2} + 17 > 0\) $\Rightarrow$\({x^3} - {y^3} > 0\) $\Rightarrow$\(x - y > 0\) $\Rightarrow$\(a > 0\).

Ta có:\({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\)$\Rightarrow$ \({a^3} + 3ab = 2{a^2} + 17\) $\Rightarrow$ \(17 \vdots a\) $\Rightarrow$\(a \in \left\{ {1;17} \right\}\) (do \(a > 0\))

TH1: \(a = 1\) $\Rightarrow$ \(b = 6\) $\Rightarrow$ \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\) (thử lại thoả mãn)

TH2: \(a = 17\) $\Rightarrow$ \(b = \frac{{ - 254}}{3}\;\left( {{\rm{loai}}} \right)\)

   Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\)

1) \(2x + 2 = \left( {5 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \)  (ĐKXĐ: \(x \ge \frac{2}{3}\) )

     $\Rightarrow$ \({\left( {2x + 2} \right)^2} = {\left( {5 - x} \right)^2}\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = \left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = \left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {3x - 2} \right)\)

     $\Rightarrow$ \(4{x^2} + 8x + 4 = 3{x^3} - 32{x^2} + 95x - 50\;\)

     $\Rightarrow$ \(3{x^3} - 36{x^2} + 87x - 54 = 0\;\)

       $\Rightarrow$\(\left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\(x \in \left\{ {1;2;9} \right\}\)

    Thử lại thu được: \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\)

2)  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 3xy = 9}\\{{x^3} + {y^3} = 9}\end{array}} \right.\)

  Đặt \(x + y = a;xy = b\;\left( {{a^2} \ge 4b} \right)\)

  $\Rightarrow$ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3b = 9\;\left( 1 \right)}\\{{a^3} - 3ab = 9\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)  

   Từ (1) $\Rightarrow$ \(a = 9 - 3b\) $\Rightarrow$\({\left( {9 - 3b} \right)^3} - 3\left( {9 - 3b} \right)b = 9\;\)

$\Rightarrow$\( - 27{b^3} + 252{b^2} - 756b + 729 = 9\)$\Rightarrow$ \( - 27{b^3} + 252{b^2} - 756b + 720 = 0\)

 $\Rightarrow$ \(b \in \left\{ {2;4;\frac{{10}}{3}} \right\}\) 

 TH1: \(b = 2\) $\Rightarrow$ \(a = 3\) $\Rightarrow$ \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\)

 TH2: \(b = 4\) $\Rightarrow$ \(a =  - 3\) (loại do \({a^2} \ge 4b\). )

 TH3: \(b = \frac{{10}}{3}\) $\Rightarrow$ \(a =  - 1\) (loại do \({a^2} \ge 4b\))

 Từ các trường hợp trên $\Rightarrow$\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\) (Thử lại thoả mãn)

 Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}\)