1. Rút gọn biểu thức: \(A = (\sqrt 5  - 1)\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } \)

2. Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 3 = 0.\) Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \[B = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\]

3. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \((d)\): \(y = (m + 2)x + 3\). Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt  hai trục \(Ox;\,\,Oy\) lần lượt tại 2 điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(AOB\) cân.

a)\[\widehat {BEP} + \widehat {BCP} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\] ½ tứ giác \[BEPC\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {EPC} = \widehat {EBA}\] (vì cùng bù với \[\widehat {EBC}\])

\[ \Rightarrow \widehat {EDA} = \widehat {EBA}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\[ \Rightarrow \widehat {EDA} = \widehat {APQ} \Rightarrow \] Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp.

b)Mà \[\widehat {AMQ} = \widehat {APQ} \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {ADE}\] \[ \Rightarrow \widehat {AMQ} = \widehat {ADK}\]

\[ \Rightarrow \Delta AKD\, \sim \,\Delta AQM{\rm{ }}\,\,(\widehat {QAM}\,\,chung;\,\,\widehat {ADK} = \widehat {AMQ})\]

c)\( \Rightarrow \Delta AKD\, \sim \,\Delta AQM{\rm{ }} \Rightarrow \frac{{AK}}{{AQ}} = \frac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AK.AM = AD.AQ\)

Ta có: \(\Delta ADB\,\, \sim \Delta ACQ\,{\rm{ }}(\widehat A{\rm{ chung;}}\,\,\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = {90^0})\)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AQ}} \Rightarrow AB.AC = AD.AQ\) \( \Rightarrow AK.AM = AB.AC\)

d)Ta có \(AK.AM = AB.AC \Rightarrow AM = \frac{{AB.AC}}{{AK}}\)(không đổi) ½ \(M\) cố định.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) thì ta có \(IA = IM\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AM\) cố định.

1)ĐKXĐ: \(x \le 1;y \ge 1\)

\((1) \Leftrightarrow (1 - x)\sqrt {1 - x} - (y - 1)\sqrt {y - 1} + \sqrt {1 - x} - \sqrt {y - 1} = 0\)

Đặt \(\sqrt {1 - x} = u\,\,(u \ge 0);\,\,\sqrt {y - 1} = t\,\,(t \ge 0)\) ta được phương trình:

\({u^3} - {t^3} + u - t = 0\)\( \Leftrightarrow (u - t)({u^2} + ut + {t^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - t = 0\\{u^2} + ut + {t^2} + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,u - t = 0 \Rightarrow 1 - x = y - 1 \Leftrightarrow x = 2 - y\).

Từ (2) suy ra \(\sqrt {4 - y} + \sqrt {y + 1} = 3\) (ĐKXĐ: \(1 \le y \le 4\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 + 2\sqrt {(4 - y)(y + 1)} = 9 \Leftrightarrow \sqrt {4 + 3y - {y^2}} = 2 \Rightarrow 3y - {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,\,(KTM)\\y = 3\,\,\,(TM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = ( - 1;3).\)

2)Từ giả thiết \[{\rm{a}}\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) = ab \Rightarrow {a^2} + {b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = ab + a + b\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: \[{a^2} + {b^2} \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow ab + a + b \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow a + b \ge ab\,\,\,\,\,(1)\]

Lại có: \[{\rm{a}}b + a + b + 8 = \left( {{a^2} + 4} \right) + \left( {{b^2} + 4} \right) \ge 4{\rm{a}} + 4b = 4\left( {a + b} \right)\]

\[ \Rightarrow ab + 8 \ge 3\left( {a + b} \right) \ge 3ab\,\,(do\,\,\,(1))\]

\( \Rightarrow ab \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {ab} \Rightarrow 0 < t \le 2 \Rightarrow \frac{2}{t} \ge 1 \Rightarrow \frac{4}{{{t^2}}} \ge 1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[\begin{array}{l}F = \frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{a} + 2023\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{4}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}.\frac{{{b^2}}}{a}} + 2023.2\sqrt {\frac{1}{{ab}}} + \frac{4}{{ab}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2t + 4046.\frac{1}{t} + \frac{4}{{{t^2}}}\end{array}\]

\(F \ge 2t + \frac{8}{t} + 2019 \cdot \frac{2}{t} + \frac{4}{{{t^2}}}\).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có \(2t + \frac{8}{t} \ge 2\sqrt {2t.\frac{8}{t}} = 8\)

\( \Rightarrow F \ge 8 + 2019 + 1 = 2028\). Vậy \(\min F = 2028\), đạt khi \(a = b = 2\).