Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(C\) cố định, qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AC\). Gọi \(K\) là điểm cố định nằm giữa \(O\) và \(B\) \((K\) khác \(O\) và \(B)\), qua \(K\) vẽ dây cung \(ED\) bất kì của đường tròn \((O)\). Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(AE\) và \(AD\) với đường thẳng \(d\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) cắt tia \(AC\) tại điểm \(M\) \((M\) khác \(A)\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp được trong một đường tròn.

b) \(\Delta AKD{\rm{ }} \sim \Delta \,\Delta AQM.\)

c) \(AK.AM = AB.AC.\)

d) Khi dây \(ED\) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) luôn nằm trên một đường cố định.

1)ĐKXĐ: \(x \le 1;y \ge 1\)

\((1) \Leftrightarrow (1 - x)\sqrt {1 - x} - (y - 1)\sqrt {y - 1} + \sqrt {1 - x} - \sqrt {y - 1} = 0\)

Đặt \(\sqrt {1 - x} = u\,\,(u \ge 0);\,\,\sqrt {y - 1} = t\,\,(t \ge 0)\) ta được phương trình:

\({u^3} - {t^3} + u - t = 0\)\( \Leftrightarrow (u - t)({u^2} + ut + {t^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - t = 0\\{u^2} + ut + {t^2} + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,u - t = 0 \Rightarrow 1 - x = y - 1 \Leftrightarrow x = 2 - y\).

Từ (2) suy ra \(\sqrt {4 - y} + \sqrt {y + 1} = 3\) (ĐKXĐ: \(1 \le y \le 4\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 + 2\sqrt {(4 - y)(y + 1)} = 9 \Leftrightarrow \sqrt {4 + 3y - {y^2}} = 2 \Rightarrow 3y - {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,\,(KTM)\\y = 3\,\,\,(TM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = ( - 1;3).\)

2)Từ giả thiết \[{\rm{a}}\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) = ab \Rightarrow {a^2} + {b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = ab + a + b\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: \[{a^2} + {b^2} \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow ab + a + b \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow a + b \ge ab\,\,\,\,\,(1)\]

Lại có: \[{\rm{a}}b + a + b + 8 = \left( {{a^2} + 4} \right) + \left( {{b^2} + 4} \right) \ge 4{\rm{a}} + 4b = 4\left( {a + b} \right)\]

\[ \Rightarrow ab + 8 \ge 3\left( {a + b} \right) \ge 3ab\,\,(do\,\,\,(1))\]

\( \Rightarrow ab \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {ab} \Rightarrow 0 < t \le 2 \Rightarrow \frac{2}{t} \ge 1 \Rightarrow \frac{4}{{{t^2}}} \ge 1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[\begin{array}{l}F = \frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{a} + 2023\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{4}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}.\frac{{{b^2}}}{a}} + 2023.2\sqrt {\frac{1}{{ab}}} + \frac{4}{{ab}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2t + 4046.\frac{1}{t} + \frac{4}{{{t^2}}}\end{array}\]

\(F \ge 2t + \frac{8}{t} + 2019 \cdot \frac{2}{t} + \frac{4}{{{t^2}}}\).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có \(2t + \frac{8}{t} \ge 2\sqrt {2t.\frac{8}{t}} = 8\)

\( \Rightarrow F \ge 8 + 2019 + 1 = 2028\). Vậy \(\min F = 2028\), đạt khi \(a = b = 2\).

1)\((4{x^2} - 7x + 4)(3{x^2} - 4x + 3) = 3{x^2}\)   (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).

Xét x khác 0, chia cả 2 vế của (1) cho \({x^2}\) ta được phương trình.

\(\left( {4x - 7 + \frac{4}{x}} \right)\left( {3x - 4 + \frac{3}{x}} \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ {4\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 7} \right].\left[ {3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 4} \right] = 3\)

Đặt \(x + \frac{1}{x} = t\). Ta được phương trình:

\((4t - 7)(3t - 4) = 3 \Leftrightarrow 12{t^2} - 37t + 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{{25}}{{12}}\end{array} \right.\)

* Với t = 1\( \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\) (Phương trình vô nghiệm).

* Với t = \(\frac{{25}}{{12}}\)\( \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{{25}}{{12}} \Rightarrow 12{x^2} - 25x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\). KL....

2)\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3m - 3\\mx + y = 2m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + my = 3m - 3\\({m^2} - 1)x = 2{m^2} - 5m + 3\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất là\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m - 3}}{{m + 1}} = 2 - \frac{5}{{m + 1}}\\y = 3 - \frac{5}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Vì m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên thì m + 1 phải là ước của 5\( \Rightarrow m + 1 \in \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {0; - 2;4; - 6} \right\}(TM)\). KL...

3)Gọi số lần đi của Robot (theo quy luật đi rồi lại nghỉ) là x (x > 1, x\( \in {{\rm N}^*}\))

Thời gian đi của Robot theo quy luật là: \(\frac{{120}}{{40}} + \frac{{240}}{{40}} + \frac{{360}}{{40}} + ... + \frac{{120x}}{{40}} = 3 + 6 + 9 + ... + 3x = \frac{{3x(x + 1)}}{2}\) (phút)

Thời gian nghỉ của Robot là: \(1 + 2 + 3 + .... + x - 1 = \frac{{x(x - 1)}}{2}\) (phút)

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{3x(x + 1)}}{2} + \frac{{x(x - 1)}}{2} = 253 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 253 = 0\)

Giải phương trình tìm được: \({x_1} = 11\,\,(TM);\,\,{x_2} = - \frac{{23}}{2}\,\,(KTM)\)

Quãng đường từ A đến B là: \(\frac{{3.11.12}}{2}.40 = 7920\,\,(cm)\)