(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x}}\).

b) \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 < \frac{{2x + 1}}{3} + x\)

\(\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}\)

\(\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x\)

\(9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x\)

\( - x < - 7\)

   \(x > 7\).

c) \(\sqrt {18x + 9} - \sqrt {8x + 4} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\) (đkxđ: \(x \ge - \frac{1}{2})\)

\(\sqrt {9\left( {2x + 1} \right)} - \sqrt {4\left( {2x + 1} \right)} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(3\sqrt {2x + 1} - 2\sqrt {2x + 1} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(\frac{4}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(\sqrt {2x + 1} = 3\)

    \(2x + 1 = 9\)

    \(2x = 8\)

      \(x = 4\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4\).

2. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là giá niêm yết của máy hút ẩm và quạt cây (triệu đồng, \[0 < x,\,\,y < 9\])

Theo đề bài ta có: \[x + y = 9\]          (1)

Số tiền đã giảm của máy hút ẩm là \[20\% x\] (triệu đồng).

Số tiền đã giảm của máy quạt cây là \[10\% y\] (triệu đồng).

Giá của máy hút ẩm và chiếc quạt cây được giảm lần lượt 20% và 10% so với giá niêm yết và tổng số tiền bác Cường được giảm là \(1,6\) triệu đồng, nên ta có phương trình:

\[20\% x + 10\% y = 1,6\] hay \[0,2x + 0,1y = 1,6\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 9}\\{0,2x + 0,1y = 1,6}\end{array}} \right.\]

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 0,2, ta được hệ phương trình mới là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,2x + 0,2y = 1,8}\\{0,2x + 0,1y = 1,6}\end{array}} \right.\].

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được: \(0,1y = 0,2\) nên \(y = 2\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 2\) vào phương trình (1), ta được: \(x + 2 = 9,\) suy ra \(y = 7\) (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của máy hút ẩm và máy quạt cây lần lượt là 7 triệu đồng và 2 triệu đồng.

3. a) Gọi \(x\) là số giờ Laurent David làm việc \(\left( {x > 0} \right).\)

Số tiền Laurent David kiếm được là: \(10,25x\,\,(\euro ).\)

Theo bài, Laurent David muốn kiếm được ít nhất \(1\,\,500\,\,\euro \) trong mùa hè nên ta có bất phương trình:

\(10,25x \ge 1\,\,500\).

Vậy bất phương trình cần tìm là \(10,25x \ge 1\,\,500\).

b) Giải bất phương trình \(10,25x \ge 1500\), ta được:

\(10,25x \ge 1\,\,500\)

\(x \ge 1\,\,500:10,25\)

\(x \ge \frac{{1\,\,500}}{{10,25}}\,\,\,( \approx 146,34)\).

Do đó, Laurent David cần làm việc tối thiểu \(147\) giờ để kiếm được ít nhất \(1\,\,500\,\,\euro \) trong mùa hè này.