(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}\left(x+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}$  và $\mathrm{B}=\frac{1}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}}+\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}-1}-\frac{1}{\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}}}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(B.\)

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng viên kim cương là \(M\)\(\left( {M > 0} \right).\)

Vì giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó nên \(T = kM{}^2\) (\(k\) là hằng số và \(k > 0\)).

Khi cắt viên kim cương thành ba phần có khối lượng \(x;\,\,y;\,\,z\) với \(x + y + z = M\).

Giá bán của ba phần tương ứng là \(k{x^2};\,\,k{y^2};\,\,k{z^2}\).

Tổng giá bán của ba phần là \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} = k\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\).

Với mọi \(x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) ta có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{M^2}}}{3}\)

Như vậy \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge k\frac{{{M^2}}}{3}\)hay \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge \frac{T}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{M}{3}\).

Như vậy, khi chia viên kim cương thành ba phần bằng nhau thì giá bán giảm mạnh nhất và giảm ba lần.

a) Điều kiện xác định \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1\).

\(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x}}\)

\(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\({x^2} - 1 + x = 2x + 1\)

\({x^2} + x - 2x - 2 = 0\)

\(x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(x =  - 1\) (loại) hoặc \(x = 2\) (thỏa mãn)