(1,5 điểm) Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở vị trí \(C\) đã bị gãy ngang tại \(A\) (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng \(BC = 5{\rm{ m}}\). Biết rằng phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\).

a) Viết tỉ số lượng giác sin và tan của góc \(ABC\) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

a) Điều kiện xác định \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1\).

\(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x}}\)

\(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\({x^2} - 1 + x = 2x + 1\)

\({x^2} + x - 2x - 2 = 0\)

\(x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(x =  - 1\) (loại) hoặc \(x = 2\) (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng viên kim cương là \(M\)\(\left( {M > 0} \right).\)

Vì giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó nên \(T = kM{}^2\) (\(k\) là hằng số và \(k > 0\)).

Khi cắt viên kim cương thành ba phần có khối lượng \(x;\,\,y;\,\,z\) với \(x + y + z = M\).

Giá bán của ba phần tương ứng là \(k{x^2};\,\,k{y^2};\,\,k{z^2}\).

Tổng giá bán của ba phần là \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} = k\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\).

Với mọi \(x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) ta có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{M^2}}}{3}\)

Như vậy \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge k\frac{{{M^2}}}{3}\)hay \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge \frac{T}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{M}{3}\).

Như vậy, khi chia viên kim cương thành ba phần bằng nhau thì giá bán giảm mạnh nhất và giảm ba lần.