a)  Chứng minh \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \ge \sqrt 2 \left( {x + y - 2} \right)\left( {z - 1} \right),\] với mọi \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}.\]

b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}\]

\[k\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right] \ge \left| {\left( {x + y - 2} \right)\left( {z - 1} \right).} \right|\]

a) Cho biểu thức \[M = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - 4 \cdot \frac{{x\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }},\] với \[x > 1.\]

Rút gọn M và tìm giá trị nhỏ nhất của M.

* Rút gọn \(M\):

\(M = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }} - 4\frac{{x\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\)

       \( = \left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right) - \left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right) - \frac{{4x\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{1 - \sqrt x }}\)

       \( = 2\sqrt {x - 1} + 4x\)

* Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M\):

Cách 1: Đặt \(t = \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\,\,\, \Rightarrow x = {t^2} + 1\)

Khi đó \(M = 4{t^2} + 2t + 4 = {\left( {2t + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 4,\,\,\,\forall t > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M - \frac{{15}}{4} = {\left( {2t + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {M - \frac{{15}}{4}} = 2t + \frac{1}{2}\end{array}\)

Đặt \(y = f\left( t \right) = 2t + \frac{1}{2}\): HS bậc nhất, đồng biến (vì \(a = 2 > 0\))

Vì \(t > 0\) nên \(y = f\left( t \right) > f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \)Không tồn tại min\(y\) \( \Rightarrow \)Không tồn tại min\(M\).

 Cách 2:

Do \(x > 1\) nên \(2\sqrt {x - 1} > 0\) và \(4x > 4\). Vậy \(M > 4,\,\,\,\forall x > 1\)

Giả sử \(m\) là GTNN của \(M\) \( \Rightarrow \)\(m > 4\)

Xét phương trình: \(\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x - 1} + 4x = n\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

                            \( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} + 4\left( {x - 1} \right) + 4 - n = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\,\,\). Phương trình trở thành: \(4{t^2} + 2t + 4 - n = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \(n > 4\)nên\(4\left( {4 - n} \right) < 0\)\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\)trái dấu

                                        \( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\)có một nghiệm \(t > 0\)

                                        \( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có một nghiệm \(x > 1\)

                                        \( \Rightarrow \) Tồn tại \(x > 1\)để \(M = n\) (Điều này vô lý với giả sử \(m\) là GTNN của \(M\))

Vậy không tồn tại GTNN của \(M\).

Cách 3:

Đặt \(t = \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\,\,\, \Rightarrow x = {t^2} + 1\)

Khi đó \[M = 4{t^2} + 2t + 4\]

\[ \Leftrightarrow \frac{M}{4} = {t^2} + \frac{t}{2} + 1 = {\left( {t + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}\]

\[ \Leftrightarrow \,\frac{M}{4} - \,\frac{{15}}{{16}} = {\left( {t + \frac{1}{4}} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \,Y = {X^2}\,\,\]với \(\left\{ \begin{array}{l}Y = \frac{M}{4} - \frac{{15}}{{16}}\\X = t + \frac{1}{4} > \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Giả sử GTNN của \[\,Y = \,{Y_0}\] đạt được khi \[\,X = \,{X_0}\].

Theo định nghĩa ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\forall X > \frac{1}{4}:Y \ge {Y_0}\,\,\,\left( * \right)\\\exists X = {X_0} > \frac{1}{4}:Y\left( {{X_0}} \right) = {Y_0}\,\end{array} \right.\)

Vì \[Y = {X^2}\,\,\]là hàm số đồng biến khi \[\,X > 0\] nên \[Y = {X^2}\,\,\]cũng đồng biến khi \[\,X > \frac{1}{4}\]

Chọn \[\,{X_1} > {X_0} > \frac{1}{4}\]\( \Rightarrow \)\[\,Y\left( {{X_1}} \right) > Y\left( {{X_0}} \right)\]\( \Rightarrow \)\({Y_1} > {Y_0}\) (mâu thuẫn với \(\left( * \right)\))

Vậy không tồn tại GTNN của \(M\).

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho \[A = \sqrt {n + 3} + \sqrt {n + \sqrt {n + 3} } \] là số nguyên.

Cách 1:

Đặt \[m = \sqrt {n + 3} + \sqrt {n + \sqrt {n + 3} } ,m \in \mathbb{Z}*\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow n + \sqrt {n + 3} = {\left( {m - \sqrt {n + 3} } \right)^2} = {m^2} + n + 3 - 2m\sqrt {n + 3} \\ \Rightarrow \sqrt {n + 3} = \frac{{{m^2} + 3}}{{2m + 1}} \in \mathbb{Q}\end{array}\]

Do đó \[\sqrt {n + 3} \in \mathbb{Q}\]

Mà \[n + 3 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt {n + 3} \in \mathbb{Z}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2m + 1\left| {{m^2} + 3} \right. \Rightarrow 2m + 1\left| {4{m^2} + 12} \right.\\ \Rightarrow 2m + 1\left| {\left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 2(2m + 1) + 13} \right]} \right.\\ \Rightarrow 2m + 1\left| {13} \right.\end{array}\]

Vì \[n \ge 0 \Rightarrow \sqrt {n + 3} \ge \sqrt 3 \Rightarrow m \ge \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 3 } > 3\]

Vậy \[2m + 1 = 13 \Rightarrow m = 6 \Rightarrow \sqrt {n + 3} = \frac{{{6^2} + 3}}{{2.6 + 1}} = 3 \Rightarrow n = 6\]

Vậy \[n = 6\] là số tự nhiên duy nhất tìm được.

Cách 2:

Đặt \(a = n + 3{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}b = n + \sqrt {n + 3} \left( {a,b \in N} \right)\)

\( \Rightarrow a - 3 + \sqrt a = b\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt a + \frac{1}{2}} \right)^2} - b = \frac{{13}}{4}\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt a + 1} \right)^2} - {\left( {2\sqrt b } \right)^2} = 13\\ \Rightarrow \left( {2\sqrt a + 1 - 2\sqrt b } \right).\left( {2\sqrt a + 1 + 2\sqrt b } \right) = 13\end{array}\]

Ta có \(a,b \in N \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt a + 1 + 2\sqrt b > 2\sqrt a + 1 - 2\sqrt b \\2\sqrt a + 1 + 2\sqrt b > 0\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt a + 1 - 2\sqrt b = 1\\2\sqrt a + 1 + 2\sqrt b = 13\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = b = 9\\ \Rightarrow n = 6\end{array}\]

Vậy \[n = 6\]

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\]. Tìm \[b\] để \[x_2^2 = 9{x_1}\].

+) Ta có: \[\Delta = {b^2} - 4.1.( - 7 + 2b) = {b^2} - 8b + 28\]\[ = {(b - 4)^2} + 12 \ge 12 > 0\] \[\forall b\]

\[ \Rightarrow \] (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].

+) \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - b\\{x_1}.{x_2} = 2b - 7\end{array} \right.( * )\]

Với \[x_2^2 = 9{x_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} + \frac{{x_2^2}}{9} = - b\\\frac{{x_2^2}}{9} \cdot {x_2} = 2b - 7\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + \frac{{2x_2^2}}{9} = - 2b\\\frac{{x_2^2}}{9} \cdot {x_2} = 2b - 7\end{array} \right.\]

Cộng vế theo vế ta được: \[2{x_2} + \frac{{2x_2^2}}{9} + \frac{{x_2^3}}{9} = - 7\]

                                   \[ \Leftrightarrow x_2^3 + 2x_2^2 + 18{x_2} + 63 = 0\]

                       \[ \Leftrightarrow ({x_2} + 3).(x_2^2 - {x_2} + 21) = 0\]

                                   \[ \Leftrightarrow {x_2} = - 3\]

                       \[ \Rightarrow {x_1} = \frac{{x_2^2}}{9} = 1\]

\[( * ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = - b\\ - 3 = 2b - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow b = 2 \in \mathbb{Z}\] (thỏa mãn)

b) Chứng minh rằng nếu \[b\] là số nguyên lẻ thì phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ.

Cách 1: Nếu \[b\] lẻ \[ \Rightarrow \]\[b - 4\] lẻ

Đặt \[b - 4 = 2k + 1\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Ta cần chứng minh \[\Delta \] không là số chính phương.

Phản chứng: \[\Delta \] là số chính phương

\[ \Rightarrow \] Đặt \[{\left( {2k + 1} \right)^2} + 12 = {m^2} \Rightarrow m\] lẻ

Đặt \[m = 2l + 1 \Rightarrow \Delta = 4{k^2} + 4k + 13 = 4{l^2} + 4l + 1\]

\[ \Rightarrow {k^2} + k + 3 = {l^2} + l\] (vô lí)

Vậy \[\Delta \] không là số chính phương \[ \Rightarrow \](1) không có nghiệm hữu tỉ.

Cách 2: Giả sử (1) có nghiệm hữu tỉ, gọi là: \[\frac{p}{q}\left( {p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}*,(p,q) = 1} \right)\].

Theo tính chất về nghiệm hữu tỉ của đa thức nguyên, ta có \[q|1\] và \[p|2b - 7\] \[ \Rightarrow q = 1\] và \[p\] lẻ.

Hơn nữa, do \[q = 1\] nên \[p\] là nghiệm nguyên của (1) \[ \Rightarrow {p^2} + bp - 7 + 2b = 0\].

Mà điều này là vô lí do \[{p^2} + bp - 7 + 2b\] lẻ \[ \Rightarrow \] Điều giả sử là sai hay (1) không có nghiệm hữu tỉ.

Cách 3: Đặt \[{b^2} - 4.(2b - 7) = {a^2},a \in \mathbb{N}\](*)

Nếu \[b\] lẻ \[ \Rightarrow \] VP lẻ \[ \Rightarrow \]a lẻ

Từ (*) \[ \Rightarrow {b^2} - {a^2} = 4.(2b - 7)\]

Vì a, b đều lẻ nên \[{a^2},{b^2} \equiv 1\] \[(\bmod 8)\]

\[ \Rightarrow 8|{a^2} - {b^2}\]

Mà \[4.(2b - 7)\] không chia hết cho 8 (Do \[2b - 7\] lẻ).

\[ \Rightarrow \] Mâu thuẫn

Vây khi \[b\] là số nguyên lẻ thì phương trình không thể có nghiệm hữu tỉ.