(2,5 điểm) Cho hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn tâm \(O\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính \(BD\), \(AO\) cắt \(BC\) tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \[A,\,B,\,O,C\] cùng thuộc một đường tròn.
(2,5 điểm) Cho hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn tâm \(O\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính \(BD\), \(AO\) cắt \(BC\) tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \[A,\,B,\,O,C\] cùng thuộc một đường tròn.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![a) Chứng minh bốn điểm \[A,\,B,\,O,C\] cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/9-1766500092.png)
a) Vì \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) nên \(AB \bot OB\), \(AC \bot OC\), do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AO\).
Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có \(BK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \(BK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\) (1).
Xét \(\Delta ACO\) vuông tại \(C\) có \(CK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \(CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(BK = CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\).
Vậy các điểm \[A,\,B,\,O,C\] cùng thuộc một đường tròn tâm \(K\) đường kính \(AO\).
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Chứng minh \(OA\) vuông góc với \(BC\) và .
Giải bởi Vietjack
b) ⦁ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(AB = AC\) suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (3).
Lại có \(OB = OC = R\) suy ra \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (4).
Từ (3) và (4) suy ra \(AO\) là đường trung trực của \(BC\) hay \(OA\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).
⦁ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BD\) có \(\widehat {BCD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác \(\Delta ABH\) vuông tại \(H)\) và \(\widehat {DBC} + \widehat {ABH} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {DBC}\,\).
Xét \(\Delta DBC\) và \(\Delta BAH\) có: \(\widehat {BCD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DBC} = \widehat {BAH}\)
Do đó (g.g).
Câu 3:
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AH\) và \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(N\). Chứng minh \(D,\,H\,,N\) thẳng hàng.
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AH\) và \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(N\). Chứng minh \(D,\,H\,,N\) thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
c)
c) Vì \(AO\) là đường trung trực của \(BC\) và \(AO\) cắt \(BC\) tại \(H\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Suy ra \(BC = 2BH.\)
Vì (câu b) nên \[\frac{{BC}}{{AH}} = \frac{{DC}}{{BH}}\]
Mà \(AH = 2MH\) (do \(M\) là trung điểm của \(AH)\) và \(BC = 2BH\), suy ra \[\frac{{2BH}}{{2MH}} = \frac{{DC}}{{BH}} = \frac{{BH}}{{MH}}\].
Lại có \(BH = HC\) nên \(\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}\).
Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta DHC\) có: \(\widehat {MHB} = \widehat {HCD} = 90^\circ \) và \(\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}\)
Do đó (g.g), suy ra \(\widehat {MBH} = \widehat {HDC}\) (1)Lại có \(\widehat {MBH} = \widehat {NBC} = \widehat {NDC}\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[NC\] của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {NDC} = \widehat {HDC}\), nên hai tia \(DN,\,DH\) trùng nhau, do đó \(D,\,H\,,N\) thẳng hàng.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\).
Ta có \(\sqrt x + 3 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)
⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\).
Ta có \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
Lời giải
a) Điều kiện xác định \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)
Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4\)
\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4\)
\( - 6x \cdot 2 = 4\)
\( - 12x = 4\)
\(x = - \frac{1}{3}\) (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập