a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1.\]

b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho \(11\). Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho \(11.\)

a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \[ \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1.\]

Xét \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\) \[ \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 0.\]

Áp dụng định lý Vi–ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m\end{array} \right.\]

Ta được \[12{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {{m^2} - m} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 3 = 0.\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{3}{4}\end{array} \right.\). Kết hợp với điều kiện, giá trị \[m = \frac{3}{4}\] thỏa mãn.

b)Ta có: \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}} \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 3xy \Leftrightarrow 2{x^2} - 6xy - 2{y^2} = 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\) hoặc \(\frac{x}{y} = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}.\)

Với \(\frac{x}{y} = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{{3 + \sqrt {13} }} = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\). Ta được \(P = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - 2 = 11.\)

Với \(\frac{x}{y} = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{{3 - \sqrt {13} }} = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\). Ta được \(P = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - 2 = 11.\)

a)Điều kiện: \[x - 3y \ge 0;x \ge 3;y \ge - 3.\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow 3(x - 3y) + 2\sqrt {x - 3y} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 3y} - 2} \right)\left( {3\sqrt {x - 3y} + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3y} = 2\\ \Leftrightarrow x = 4 + 3y.\end{array}\]

Thế \[x = 3y + 4\] vào phương trình (2) ta được \[2\sqrt {3y + 1} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1 \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {3y + 1} - 2} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} - 2} \right) = 5y + 1 - 6\]

\[ \Leftrightarrow 2\frac{{3\left( {y - 1} \right)}}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{{y - 1}}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5} \right) = 0{\rm{   }}\left( * \right)\]

Nhận thấy \(\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5 < 3 + \frac{1}{2} - 5 < 0\) với mọi \(y \ge - 3.\)

Do đó \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(y = 1\)(thỏa mãn).

Với \[y = 1\] ta được \[x = 7\](thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;1} \right).\)

b)Đặt \[z = \frac{{xy}}{{x + y + 1}} \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \Rightarrow \frac{1}{z} + 1 = \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)\left( {\frac{1}{y} + 1} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\]

Với mỗi tập các số dương \[\left\{ {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right\}\]tùy ý, xét biểu thức:

\[P\left( {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right) = \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + 1} \right)\left( {\frac{1}{{{x_2}}} + 1} \right)....\left( {\frac{1}{{{x_n}}} + 1} \right).\]

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì \(x,y\) rồi viết lên bảng số \[\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\]các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức \(P\) của các số trên bảng không đổi.

Gọi số cuối cùng là a \[ \Rightarrow P(a) = P\left( {\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} + 1 = \left( {\frac{1}{1} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{2}}} + 1} \right)...\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2022}}}} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2023}}}} + 1} \right) = 2024! \Rightarrow a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]

Vậy số còn lại trên bảng là \[a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]