a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1.\]

b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho \(11\). Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho \(11.\)

a)Vì \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 6} \right) = 2x + 1\] nên \(\left( {2x + 1} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {4\left( {{x^2} - x - 1} \right) + 1} \right]\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow 1\, \vdots \,\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right) \in \left\{ { - 1\,;1} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\,0\,;\,1\,;\, - 1;2} \right\}\), mà \(x\)nguyên dương \( \Rightarrow x \in \left\{ {\,1\,;\,2} \right\}.\)

Với \(x = 1\), ta có phương trình: \({y^2} + y - 9 = - 3\)\( \Leftrightarrow y = 2\) hoặc \(y = - 3 < 0\)(không thỏa mãn)

Với \(x = 2\), ta có phương trình: \({y^2} + 2y - 9 = 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - 14 = 0\) (loại do phương trình có 2 nghiệm không nguyên).

Thử lại \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)cần tìm là \(\left( {1;2} \right)\).

b)- Với \(n = 1 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = 3 + 7 = 10\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 3 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^3} + {7^3} = 370\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 5 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^5} + {7^5} = 17050 \vdots 11\) (thỏa mãn).

Suy ra \(n \ge 5\). Giả sử \(n = 5k + r{\rm{ }}\left( {0 \le r \le 4} \right)\).

Ta có \({3^{5k + r}} + {7^{5k + r}} = {\left( {{3^5}} \right)^k}{.3^r} + {\left( {{7^5}} \right)^k}{.7^r} \equiv {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) với \(r = 0,1,2,3,4\).

- Khi \(r = 0\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 1 + {\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) xảy ra khi \(k\) lẻ.

- Khi \(r = 1\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 3 + 7.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 2\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^2} + {7^2}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 3\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^3} + {7^3}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};\dots ;\frac{1}{2023}$ với mọi  $k$

Vậy $n=5k$ (lẻ).

Khi đó $2^n+6^n+{2023}^n={\left(2^5\right)}^k+{\left(6^5\right)}^k+{\left(2023\right)}^{5k}\equiv {\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k\left(\mathrm{mod}11\right)$ $\equiv -3\left(\text{mod}11\right)$

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) chia \(11\) có số dư là \(8.\)