a) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 3y}  = 16 - 3x + 9y\\2\sqrt {x - 3}  + \sqrt {y + 3}  = 5y + 1\end{array} \right.{\rm{  }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).\]

b) Viết lên trên bảng 2023 số: \[1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \cdots ;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}\]. Mỗi bước ta xoá đi 2 số \(x,y\) bất kì trên bảng rồi viết lên bảng số \[\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\] (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?

a)Vì \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 6} \right) = 2x + 1\] nên \(\left( {2x + 1} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {4\left( {{x^2} - x - 1} \right) + 1} \right]\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow 1\, \vdots \,\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right) \in \left\{ { - 1\,;1} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\,0\,;\,1\,;\, - 1;2} \right\}\), mà \(x\)nguyên dương \( \Rightarrow x \in \left\{ {\,1\,;\,2} \right\}.\)

Với \(x = 1\), ta có phương trình: \({y^2} + y - 9 = - 3\)\( \Leftrightarrow y = 2\) hoặc \(y = - 3 < 0\)(không thỏa mãn)

Với \(x = 2\), ta có phương trình: \({y^2} + 2y - 9 = 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - 14 = 0\) (loại do phương trình có 2 nghiệm không nguyên).

Thử lại \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)cần tìm là \(\left( {1;2} \right)\).

b)- Với \(n = 1 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = 3 + 7 = 10\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 3 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^3} + {7^3} = 370\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 5 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^5} + {7^5} = 17050 \vdots 11\) (thỏa mãn).

Suy ra \(n \ge 5\). Giả sử \(n = 5k + r{\rm{ }}\left( {0 \le r \le 4} \right)\).

Ta có \({3^{5k + r}} + {7^{5k + r}} = {\left( {{3^5}} \right)^k}{.3^r} + {\left( {{7^5}} \right)^k}{.7^r} \equiv {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) với \(r = 0,1,2,3,4\).

- Khi \(r = 0\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 1 + {\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) xảy ra khi \(k\) lẻ.

- Khi \(r = 1\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 3 + 7.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 2\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^2} + {7^2}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 3\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^3} + {7^3}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};\dots ;\frac{1}{2023}$ với mọi  $k$

Vậy $n=5k$ (lẻ).

Khi đó $2^n+6^n+{2023}^n={\left(2^5\right)}^k+{\left(6^5\right)}^k+{\left(2023\right)}^{5k}\equiv {\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k\left(\mathrm{mod}11\right)$ $\equiv -3\left(\text{mod}11\right)$

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) chia \(11\) có số dư là \(8.\)

Sử dụng bất đẳng thức: Với \(a,b,c \ge 0,\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \le \sqrt {3(a + b + c)} .\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(Q = \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{4}{{{y^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{4}{{{z^2}}}} \le \sqrt {3\left[ {3 - 4\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)} \right]} = \sqrt {9 - 12\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)} \)

Lại có \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}.\]

Suy ra \(Q \le \sqrt {9 - 4{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} .\)

Từ giả thiết \(4xyz = 9(x + y + z) + 27 \Leftrightarrow 9\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) + \frac{{27}}{{xyz}} = 4\,\,(*)\)

Với \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} \le \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}\)và \(\frac{1}{{xyz}} \le \frac{1}{{27}}.{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3}\)

Từ (*) ta có \[3{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3} \ge 4{\rm{ }}\left( {**} \right)\]

Đặt \(t = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} > 0\).

Khi đó \((**) \Leftrightarrow \) \[{t^3} + 3{t^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right){\left( {t + 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 1\] (do \({\left( {t + 2} \right)^2} > 0\)).

Suy ra \(Q \le \sqrt {9 - 4{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \le \sqrt {9 - {{4.1}^2}} = \sqrt 5 .\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 3.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(\sqrt 5 .\)