Xét ba số \(x,\,y,\,z \ge 2\) thỏa mãn \(4xyz = 9\left( {x + y + z} \right) + 27;\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{x} + \frac{{\sqrt {{y^2} - 4} }}{y} + \frac{{\sqrt {{z^2} - 4} }}{z}.\)

a)Vì \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 6} \right) = 2x + 1\] nên \(\left( {2x + 1} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 3} \right)\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {4\left( {{x^2} - x - 1} \right) + 1} \right]\, \vdots \,\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)

\( \Rightarrow 1\, \vdots \,\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right) \in \left\{ { - 1\,;1} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\,0\,;\,1\,;\, - 1;2} \right\}\), mà \(x\)nguyên dương \( \Rightarrow x \in \left\{ {\,1\,;\,2} \right\}.\)

Với \(x = 1\), ta có phương trình: \({y^2} + y - 9 = - 3\)\( \Leftrightarrow y = 2\) hoặc \(y = - 3 < 0\)(không thỏa mãn)

Với \(x = 2\), ta có phương trình: \({y^2} + 2y - 9 = 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - 14 = 0\) (loại do phương trình có 2 nghiệm không nguyên).

Thử lại \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)cần tìm là \(\left( {1;2} \right)\).

b)- Với \(n = 1 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = 3 + 7 = 10\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 3 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^3} + {7^3} = 370\cancel{ \vdots }11\) (không thỏa mãn).

- Với \(n = 5 \Rightarrow {3^n} + {7^n} = {3^5} + {7^5} = 17050 \vdots 11\) (thỏa mãn).

Suy ra \(n \ge 5\). Giả sử \(n = 5k + r{\rm{ }}\left( {0 \le r \le 4} \right)\).

Ta có \({3^{5k + r}} + {7^{5k + r}} = {\left( {{3^5}} \right)^k}{.3^r} + {\left( {{7^5}} \right)^k}{.7^r} \equiv {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) với \(r = 0,1,2,3,4\).

- Khi \(r = 0\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 1 + {\left( { - 1} \right)^k} \vdots 11\) xảy ra khi \(k\) lẻ.

- Khi \(r = 1\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = 3 + 7.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 2\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^2} + {7^2}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi \(r = 3\)\( \Rightarrow {3^r} + {7^r}.{\left( { - 1} \right)^k} = {3^3} + {7^3}.{\left( { - 1} \right)^k}\cancel{ \vdots }11\) với mọi \(k\).

- Khi $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};\dots ;\frac{1}{2023}$ với mọi  $k$

Vậy $n=5k$ (lẻ).

Khi đó $2^n+6^n+{2023}^n={\left(2^5\right)}^k+{\left(6^5\right)}^k+{\left(2023\right)}^{5k}\equiv {\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k\left(\mathrm{mod}11\right)$ $\equiv -3\left(\text{mod}11\right)$

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) chia \(11\) có số dư là \(8.\)

a)Điều kiện: \[x - 3y \ge 0;x \ge 3;y \ge - 3.\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow 3(x - 3y) + 2\sqrt {x - 3y} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 3y} - 2} \right)\left( {3\sqrt {x - 3y} + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3y} = 2\\ \Leftrightarrow x = 4 + 3y.\end{array}\]

Thế \[x = 3y + 4\] vào phương trình (2) ta được \[2\sqrt {3y + 1} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1 \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {3y + 1} - 2} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} - 2} \right) = 5y + 1 - 6\]

\[ \Leftrightarrow 2\frac{{3\left( {y - 1} \right)}}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{{y - 1}}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5} \right) = 0{\rm{   }}\left( * \right)\]

Nhận thấy \(\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5 < 3 + \frac{1}{2} - 5 < 0\) với mọi \(y \ge - 3.\)

Do đó \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(y = 1\)(thỏa mãn).

Với \[y = 1\] ta được \[x = 7\](thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;1} \right).\)

b)Đặt \[z = \frac{{xy}}{{x + y + 1}} \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \Rightarrow \frac{1}{z} + 1 = \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)\left( {\frac{1}{y} + 1} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\]

Với mỗi tập các số dương \[\left\{ {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right\}\]tùy ý, xét biểu thức:

\[P\left( {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right) = \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + 1} \right)\left( {\frac{1}{{{x_2}}} + 1} \right)....\left( {\frac{1}{{{x_n}}} + 1} \right).\]

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì \(x,y\) rồi viết lên bảng số \[\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\]các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức \(P\) của các số trên bảng không đổi.

Gọi số cuối cùng là a \[ \Rightarrow P(a) = P\left( {\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} + 1 = \left( {\frac{1}{1} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{2}}} + 1} \right)...\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2022}}}} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2023}}}} + 1} \right) = 2024! \Rightarrow a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]

Vậy số còn lại trên bảng là \[a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]