(1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều \(ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm của đáy và \(SO = a.\)

a) Xác định hình chiếu vuông góc của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tính côsin góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).

a) Ta có \(ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, \(O\) là tâm của đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\Delta OBC\).                           

b) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}}\).

Dựng \(OI \bot CD\) tại \(I\), \(OK \bot SI\) tại \(K\) \( \Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI = \frac{a}{2}\).

Ta có: \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {30} }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{7}{{15}}} \).