(1 điểm) Giả sử sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong quá trình nuôi cấy tuân theo công thức \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{rt}}\), trong đó \({N_0}\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \(\left( {r > 0} \right)\), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con và sau 2 giờ có 1 500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Số lượng vi khuẩn ban đầu \({N_0} = 500\) con.

Sau thời gian \(t = 2\) giờ có 1 500 con nên ta có \(1\,\,500 = 500 \cdot {e^{2r}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{2r}} = 3 \Leftrightarrow 2r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{2}\).

Do đó, tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này là \(r = \frac{{\ln 3}}{2}\).

Gọi \(t\) là thời gian để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi, tức là \(N\left( t \right) = 2{N_0}\).

Lại có \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{rt}}\) nên ta có \(2{N_0} = {N_0} \cdot {e^{rt}} \Leftrightarrow {e^{rt}} = 2 \Rightarrow rt = \ln 2 \Rightarrow t \approx 1,26\) (giờ).