1) Giải phương trình \[{x^2} + 8x + 15 = 0\].
2) Giải phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\].
3) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right.\].
1) Giải phương trình \[{x^2} + 8x + 15 = 0\].
2) Giải phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\].
3) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right.\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1)Cách 1: Giải phương trình \[{x^2} + 8x + 15 = 0\].
\[a = 1;{\rm{ }}b = 8;{\rm{ }}c = 15\]
\[\Delta = {b^2} - 4ac = {8^2} - 4.1.15 = 4 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 4 = 2\].
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 + 2}}{2} = - 3\]
\[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 - 2}}{2} = - 5\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 3;{\rm{ }} - 5} \right\}.\]
Cách 2: Giải phương trình \[{x^2} + 8x + 15 = 0\].
\[a = 1;{\rm{ }}b' = 4;{\rm{ }}c = 15\]
\[\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {4^2} - 1.15 = 1 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1\].
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\[{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 4 + 1}}{1} = - 3\]
\[{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 4 - 1}}{1} = - 5\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 3;{\rm{ }} - 5} \right\}.\]
Cách 3: Giải phương trình \[{x^2} + 8x + 15 = 0\].
\[{x^2} + 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 5x + 15 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right) + \left( {5x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 5\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 3;{\rm{ }} - 5} \right\}.\]
2.Cách 1: Giải phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\] (1).
Đặt \[t = {x^2}\,\,\left( {t\, \ge 0} \right)\].
Khi đó phương trình (1) trở thành \[{t^2} - 3t - 4 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\].
Ta có \[a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\] nên phương trình (2) có hai nghiệm \[{t_1} = - 1\](loại); \[{t_2} = 4\] (nhận).
Với \[t = {t_2} = 4\] ta có \[{x^2} = 4\]. Suy ra \[{x_1} = 2;\,{\rm{ }}{x_2} = - 2.\]
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là \[S = \left\{ { - 2;{\rm{ }}2} \right\}.\]
Cách 2: Giải phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\](1).
Đặt \[t = {x^2}\,{\rm{ }}\left( {t\, \ge 0} \right)\].
Khi đó phương trình (1) trở thành \[{t^2} - 3t - 4 = 0{\rm{ (2)}}\].
\[\begin{array}{l}a = 1;{\rm{ }}b = - 3;{\rm{ }}c = - 4\\\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5\end{array}\]
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
\[{t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\] (nhận)
\[{t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - 5}}{2} = - 1\] (loại)
Với \[t = {t_1} = 4\] ta có \[{x^2} = 4\]. Suy ra \[{x_1} = 2;{\rm{ }}{x_2} = - 2.\]
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là \[S = \left\{ { - 2;{\rm{ }}2} \right\}.\]
Cách 3: Giải phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\]. (1)
Ta có \[{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 4{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^4} + {x^2}} \right) - \left( {4{x^2} + 4} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) - 4\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} - 4 = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\]
Giải phương trình (2): \[{x^2} + 1 = 0\]
(vô nghiệm vì với mọi \[x \in \mathbb{R}\] thì \[{x^2} + 1 > 0)\]
Giải phương trình (3): \[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là \[S = \left\{ { - 2;{\rm{ }}2} \right\}.\]
3.Cách 1: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 15\\x - 3y = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\5 - 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (5;\,\,1).\)
Cách 2: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x - 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 13\\x = 3y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3y + 2} \right) + 3y = 13\\x = 3y + 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6y + 4 + 3y = 13\\x = 3y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 9\\x = 3y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right. \cdot \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (5;\,\,1).\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1.Vẽ đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}.\]
+ Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
+ Bảng giá trị:
\(x\).–2.–1.0.1.2
\(y\).–8.–2.0.–2.–8
+ Nhận xét: Đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}\] là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right),\) nhận trục Oy làm trục đối xứng, nằm phía dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.
![1) Vẽ đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1766835671.png)
2.Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] có điểm chung.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] là \( - 2{x^2} = x - m \Leftrightarrow 2{x^2} + x - m = 0\)
\(\Delta = {1^2} - 4.2.\left( { - m} \right) = 1 + 8m.\)
Để đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] có điểm chung thì \(\Delta \ge 0 \Rightarrow 1 + 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{8} \cdot \)
Cách 1: Cho phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] có hai nghiệm \({x_1}\),\({x_2}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2}\).
Vì \({x_1}\),\({x_2}\)là hai nghiệm của phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] nên
theo hệ thức Vi-ét thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\).
\[T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2} = 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 7{x_1}{x_2}\]
\[ = 6\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{ - 23}}{3}\]
Cách 2: Cho phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] có hai nghiệm \({x_1}\),\({x_2}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2}\).
3.Giải được hai nghiệm của phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\]
\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6};{\rm{ }}{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6}\]
\[T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2} = 6 \cdot \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6} - 7 \cdot \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6} \cdot \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6} + 6 \cdot \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6}\]
\[ = \frac{{ - 23}}{3}\]
Lời giải
1.Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.
Xét tứ giác AMNC có
\(\widehat {CAM} = \widehat {CAB} = {90^o}\)(\(\Delta ABC\) vuông tại A, \[M \in AB\]).
\(\widehat {CNM} = {90^o}\) (MN vuông góc BC).
Suy ra \(\widehat {CAM} + \widehat {CNM} = {90^o} + {90^0} = {180^0}\)
Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
2.Chứng minh \(\widehat {ABK} = \widehat {ACM}.\)
Xét tứ giác ANBK có
\(\widehat {KAB} = {90^o}\) (kề bù với góc vuông CAB).
\(\widehat {KNB} = \widehat {MNB} = {90^o}\) (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).
Suy ra \(\widehat {KAB} = \widehat {KNB} = {90^o}.\)
Vậy tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng \({90^0}\)).
\( \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {ANK}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK). (1)
Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)
nên \(\widehat {ANM} = \widehat {ACM}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
hay \(\widehat {ANK} = \widehat {ACM}\)(K thuộc đường thẳng MN). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABK} = \widehat {ACM}.\)
3.Chứng minh \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}} \cdot \)
Xét \(\Delta BCK\)có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và KN.
Suy ra M là trực tâm của \(\Delta BCK.\)
Do đó \(CM \bot BK.\) (1)
Xét đường tròn đường kính BM có \[\widehat {MDB} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra \(MD \bot BK.\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó \(CD \bot BK.\)
Diện tích \[\Delta BIC\]là \[{S_{BIC}} = \frac{1}{2}.r.BC\]
Diện tích \[\Delta BIK\]là \[{S_{BIK}} = \frac{1}{2}.r.BK\]
Diện tích \[\Delta CIK\]là \[{S_{CIK}} = \frac{1}{2}.r.CK\]
Diện tích \[\Delta BCK\]là \[{S_{BCK}} = \frac{1}{2}KN.BC = \frac{1}{2}BK.CD = \frac{1}{2}CK.AB\]
Suy ra \[\frac{1}{2}BC = \frac{{{S_{BCK}}}}{{KN}};{\rm{ }}\frac{1}{2}BK = \frac{{{S_{BCK}}}}{{CD}};{\rm{ }}\frac{1}{2}CK = \frac{{{S_{BCK}}}}{{AB}}\]
Mà \[{S_{BCK}} = {S_{BIC}} + {S_{BIK}} + {S_{CIK}}\]
hay \[{S_{BCK}} = r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{KN}} + r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{CD}} + r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{AB}}\]
\[ \Rightarrow {S_{BCK}} = r.{S_{BCK}}\left( {\frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}}} \right)\]
Vậy \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}} \cdot \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập