Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - \frac{1}{3}\sqrt {18} \).

1.Tính thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể.

Gọi x (phút) là thời gian chỉ riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nước.

       y (phút) là thời gian chỉ riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nước.

Điều kiện x, y > 0.

Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\,\)(bể nước).

Mỗi phút vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\,\)(bể nước).

Vì cả hai vòi cùng chảy sau 40 phút thì đầy bể nên mỗi phút cả hai vòi cùng chảy được \(\frac{1}{{40}}\,\)(bể nước).

Từ đó ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}{\rm{  }}\left( 1 \right)\,\)

Khi mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì lúc này lượng nước trong bể chiếm \[\frac{5}{{12}}\] thể tích của bể nước nên ta có phương trình \(15 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{{12}}{\rm{  }}\left( 2 \right)\,\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

 \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\\15 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{120}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 120\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là

60 (phút), thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 120 (phút).

2.Tính thể tích của hình nón.

Độ dài đường cao của hình nón là \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\left( {cm} \right)\]

Thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \left( {c{m^3}} \right).\)

1.Vẽ đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2}.\]

+ Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

+ Bảng giá trị:

\(x\).–2.–1.0.1.2

\(y\).–8.–2.0.–2.–8

+ Nhận xét: Đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2}\] là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right),\) nhận trục Oy làm trục đối xứng, nằm phía dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.

2.Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] có điểm chung.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] là \( - 2{x^2} = x - m \Leftrightarrow 2{x^2} + x - m = 0\)                    

\(\Delta  = {1^2} - 4.2.\left( { - m} \right) = 1 + 8m.\)

Để đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2}\] và đường thẳng \[y = x - m\,\] có điểm chung thì \(\Delta  \ge 0 \Rightarrow 1 + 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{8} \cdot \)

Cách 1: Cho phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] có hai nghiệm \({x_1}\),\({x_2}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2}\).

Vì \({x_1}\),\({x_2}\)là hai nghiệm của phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] nên

theo hệ thức Vi-ét thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\).

\[T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2} = 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 7{x_1}{x_2}\]

  \[ = 6\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{ - 23}}{3}\]

Cách 2: Cho phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\] có hai nghiệm \({x_1}\),\({x_2}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2}\).

3.Giải được hai nghiệm của phương trình \[3{x^2} + 5x - 1 = 0\]

\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6};{\rm{ }}{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6}\]

\[T = 6{x_1} - 7{x_1}{x_2} + 6{x_2} = 6 \cdot \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6} - 7 \cdot \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{6} \cdot \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6} + 6 \cdot \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{6}\]

   \[ = \frac{{ - 23}}{3}\]