a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\).
b) Giải phương trình: \({x^2} - 9x + 14 = 0\).
c) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 2)x + m - 3 = 0\)(*), với m là tham số.
1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\) > 5.
a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\).
b) Giải phương trình: \({x^2} - 9x + 14 = 0\).
c) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 2)x + m - 3 = 0\)(*), với m là tham số.
1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\) > 5.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 10\\3x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 15\\y = 5 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\}\).
b) Giải phương trình: \({x^2} - 9x + 14 = 0\).
Ta có \(\)\(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.14 = 81 - 56 = 25\rangle 0\)\(\)
\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = 2;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 7.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là:\(S = \left\{ {2;7} \right\}.\)
c) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 2)x + m - 3 = 0\)(*), với m là tham số.
1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\) > 5.
Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0(*),\)với m là tham số.
1) Phương trình (*) có: \(\Delta = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} + 16\) >0 với mọi m. Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Với mọi m thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)thỏa hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m - 3.\end{array} \right.\)
Theo bài ra: \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\)>5 \( \Leftrightarrow m + 2 + 2\left( {m - 3} \right)\)>5\( \Leftrightarrow m + 2 + 2m - 6\)>5\( \Leftrightarrow 3m > 9 \Leftrightarrow m > 3.\)
Vậy m > 3 là các giá trị cần tìm.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Tính giá trị các biểu thức:
\(A = \sqrt {36} - \sqrt 4 \); \(B = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {15} \) ; C=\(\frac{{\sqrt {12} + \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)
b) Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,x \ne 9\).
2) Tính giá trị của x để P = \(\frac{1}{2}\).
a) Tính giá trị các biểu thức:
\(A = \sqrt {36} - \sqrt 4 \); \(B = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {15} \) ; C=\(\frac{{\sqrt {12} + \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)
b) Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,x \ne 9\).
2) Tính giá trị của x để P = \(\frac{1}{2}\).
Lời giải
a) Tính giá trị các biểu thức:
\(A = \sqrt {36} - \sqrt 4 \)= 6-2=4;
\(B = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {15} \)=\(\left| {4 - \sqrt {15} } \right| + \sqrt {15} = 4 - \sqrt {15} + \sqrt {15} = 4\);
C=\(\frac{{\sqrt {12} + \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)\(\frac{{\sqrt {4.3} + \sqrt {9.3} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 5\).
b) Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,x \ne 9\).
1) Rút gọn biểu thức P.
Với \(x \ge 0,x \ne 9\). Ta có:
P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 3}} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}\)
= \(\frac{{\sqrt x + 3 + 1}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}} = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}} = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}.\)
Vậy với \(x \ge 0,x \ne 9\) thì P =\(\frac{1}{{\sqrt x - 3}}\).
2) Tính giá trị của x để P = \(\frac{1}{2}\).
Với \(x \ge 0,x \ne 9\) để P =\(\frac{1}{2}\)thì \(\frac{1}{{\sqrt x - 3}}\)= \(\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 2 = \sqrt x - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 5 \Leftrightarrow x = 25\) (thỏa mãn)
Vậy x = 25 thì P = \(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Với các số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} = a - \frac{{ab}}{{{a^2} + b}} \ge a - \frac{{ab}}{{2a\sqrt b }} = a - \frac{{\sqrt b }}{2};\)
Tương tự: \(\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} = b - \frac{{bc}}{{{b^2} + c}} \ge b - \frac{{bc}}{{2b\sqrt c }} = b - \frac{{\sqrt c }}{2};\)
\(\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} = c - \frac{{ca}}{{{c^2} + a}} \ge c - \frac{{ca}}{{2c\sqrt a }} = c - \frac{{\sqrt a }}{2}.\)
Vậy:
\(P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge a - \frac{{\sqrt b }}{2} + b - \frac{{\sqrt c }}{2} + c - \frac{{\sqrt a }}{2} = \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)\)
Mặt khác, ta có:
\({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\( \Leftrightarrow 3\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt 3 \sqrt {\left( {a + b + c} \right)} \ge \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \)
\( \Leftrightarrow - \left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right) \ge - \sqrt 3 \sqrt {a + b + c} = - 3\)
\( \Rightarrow P \ge 3 - \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}.\)
Vậy \(P \ge \frac{3}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\\{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập