Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

  \(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge \frac{3}{2}\).

a) Tính giá trị các biểu thức:

\(A = \sqrt {36}  - \sqrt 4 \)= 6-2=4;

\(B = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}}  + \sqrt {15} \)=\(\left| {4 - \sqrt {15} } \right| + \sqrt {15}  = 4 - \sqrt {15}  + \sqrt {15}  = 4\);

C=\(\frac{{\sqrt {12}  + \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)\(\frac{{\sqrt {4.3}  + \sqrt {9.3} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3  + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 5\).

b) Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 3}}\)   với \(x \ge 0,x \ne 9\).

1) Rút gọn biểu thức P.

Với \(x \ge 0,x \ne 9\). Ta có:

P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 3}} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}}\)

= \(\frac{{\sqrt x  + 3 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 9\) thì P =\(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\).

2) Tính giá trị của x để P = \(\frac{1}{2}\).

Với \(x \ge 0,x \ne 9\) để  P =\(\frac{1}{2}\)thì \(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)= \(\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 2 = \sqrt x  - 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 5 \Leftrightarrow x = 25\) (thỏa mãn)

Vậy x = 25 thì P = \(\frac{1}{2}\).

b) Chứng minh rằng \(\)∆EAD ~∆EFC

Xét ∆EAD và ∆EFC có:

\(\widehat {EAD} = \widehat {{\rm{EF}}C}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn ,tứ giác AFHE nội tiếp);

Tứ giác CDHE có \(\widehat {CDH} = \widehat {CEH} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính CH \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {FCE}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn );

c) Kẻ DE cắt đường tròn đường kính AC tại M ( \(M \ne D\)); DF cắt đường tròn đường kính AB tại N( \(N \ne D\)). Gọi \(K = FM \cap EN\). Chứng minh rằng AF = AM và đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Tứ giác AEDB có\(\widehat {AEB} = \widehat {ADB} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính AB ( gọi là (P))     \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {EDC}\)( cùng bù với  ( hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow C\) là điểm chính giữa của \( \Rightarrow AC\) là trung trực của FM ( quan hệ vuông góc giũa đường kính và dây) \( \Rightarrow {\rm{AF}} = AM;\)

Tương tự, tứ giác AFDC có \(\widehat {{\rm{AF}}C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính AC ( gọi là (Q))\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDF}\)( cùng bù với  ( hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) \( \Rightarrow B\)là điểm chính giữa của AB là trung trực của EN ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) \( \Rightarrow AB \bot EN;\) mà \(AB \bot CF\)(GT) NE // CF ( cùng vuông góc với AB) hay HF //EK.

Tương tự:FK // HE ( cùng vuông góc với AC), tứ giác HFKE có các cạnh đối song song nên là hình bình hành suy ra đường chéo EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.