Cho hàm số \(f(x) = {3^x} \cdot \ln x\)

a) Sai.

Điều kiện xác định của \(\ln x\) là \(x > 0\) . Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).

b) Sai.

Ta áp dụng công thức đạo hàm của tích \((u \cdot v)' = u'v + uv'\), với \(u = {3^x}\) và \(v = \ln x\).

+) \(u' = {({3^x})^\prime } = {3^x} \cdot \ln 3\)

+) \(v' = {(\ln x)^\prime } = \frac{1}{x}\)

Đạo hàm \(f'(x)\) là: \(f'(x) = {({3^x})^\prime } \cdot \ln x + {3^x} \cdot {(\ln x)^\prime } = ({3^x} \cdot \ln 3) \cdot \ln x + {3^x} \cdot \frac{1}{x}\)\( = {3^x}\left( {\ln 3 \cdot \ln x + \frac{1}{x}} \right)\)

c) Đúng.

Để xét tính đơn điệu, ta cần xét dấu của đạo hàm \(f'(x) = {3^x}\left( {\ln 3 \cdot \ln x + \frac{1}{x}} \right)\) trên \((3; + \infty )\):

+) \({3^x} > 0\) với mọi \(x \in (3; + \infty )\).

+) \(\frac{1}{x} > 0\) với mọi \(x \in (3; + \infty )\).

+) \(\ln 3 > 0\) (vì \(3 > 1\)).

+) Trên \((3; + \infty )\), ta có \(x > 3 > e\). Do đó \(\ln x > \ln 3 > 1 > 0\) .

Vì tất cả các thừa số và số hạng trong ngoặc đều dương trên \((3; + \infty )\), ta có:

\(f'(x) = {3^x}\left( {\ln 3 \cdot \ln x + \frac{1}{x}} \right) > 0\,,\forall x \in (3; + \infty )\)

Do đó, hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).

d) Sai.

\[{3^{{y^2} - \frac{{|x|}}{x}}} \le {\log _{{y^2} + 3}}\left( {\frac{{|x|}}{3} + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{3^{{y^2} + 3}}}}{{{3^{\frac{{|x|}}{3} + 3}}}} \le \frac{{\ln \left( {\frac{{|x|}}{3} + 3} \right)}}{{\ln \left( {{y^2} + 3} \right)}} \Leftrightarrow {3^{{y^2} + 3}}\ln \left( {{y^2} + 3} \right) \le {3^{\frac{{|x|}}{3} + 3}}\ln \left( {\frac{{|x|}}{3} + 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\]

Do hàm \(f(x) = {3^x} \cdot \ln x\) đồng biến trên \((3; + \infty )\) nên \[\left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} + 3 \le \frac{{|x|}}{3} + 3 \Leftrightarrow {y^2} \le \frac{{\left| x \right|}}{3}\] .

Ta thấy chỉ có 3 trường hợp đó là \[{y^2} \le 1\],\[{y^2} \le 2\],\[{y^2} \le 3\] mã mỗi trường hợp có đúng \(3\) số ngyên \(y\) thỏa mãn.

Trường hợp 1 ứng với \[\frac{{\left| x \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 3\].

Trường hợp 2 ứng với \[\frac{{\left| x \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm 6\].

Trường hợp 2 ứng với \[\frac{{\left| x \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm 9\].

Vậy có \(6\) số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi số nguyên \(x\) có đúng 3 số nguyên \(y\) thỏa mãn bất phương trình: \({3^{{y^2} - \frac{{|x|}}{x}}} \le {\log _{{y^2} + 3}}\left( {\frac{{|x|}}{3} + 3} \right)\).