Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \(\Delta ABC\)với \(A\left( {1; - 3;3} \right),B\left( {2; - 4;5} \right),C\left( {3; - 2;1} \right)\)

a) Sai.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1; - 2} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1; - 4 + 3;5 - 2} \right) = (1; - 1;2). \Rightarrow \)a) Sai

b) Đúng

Điểm \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\) thì \(a + b + c = 2\).

Điểm \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\b = \frac{{ - 3 - 4 - 2}}{3} =  - 3\\c = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + b + c = 2\) \( \Rightarrow \)b)

c) Đúng

Điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\)thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0,\) khi đó \(2x + y + z = 4.\)

Điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = (1 - x; - 3 - y;3 - z)\)

\(\overrightarrow {IB}  = (2 - x; - 4 - y; - 2 - z)\)  

\(\overrightarrow {IC}  = (3 - x; - 2 - y;1 - z)\)

Ta có:

\(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = (13 - 6x; - 16 - 6y;7 - 6z)\)

\(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 6x = 0\\ - 16 - 6y = 0\\14 - 6z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{6}\\y =  - \frac{8}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(2x + y + z = \frac{{13}}{3} - \frac{8}{3} + \frac{7}{3} = 4.\)\( \Rightarrow \)c)

d) Sai

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oyz} \right)\)sao cho biểu thức\[P =  - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2}\] đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(x + y - z <  - 5\).

Ta có: \(M\left( {x;y;z} \right) \in (Oyz) \Rightarrow M(0;y;z)\)

Khi đó:

\(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} = 1 + {( - 3 - y)^2} + {(3 - z)^2} = 19 + 6y - 6z + {y^2} + {z^2}\)

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = 4 + {( - 4 - y)^2} + {(5 - z)^2} = 45 + 8y - 10z + {y^2} + {z^2}\)

\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = 9 + {( - 2 - y)^2} + {(1 - z)^2} = 14 + 4y - 2z + {y^2} + {z^2}\)

\[\begin{array}{l}P =  - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2}\\ =  - 125 - 32y + 28z - 6{y^2} - 6{z^2}\\ =  - 6{(y + \frac{8}{3})^2} - {(z - \frac{7}{3})^2} - \frac{{149}}{3}\end{array}\]

\(P\) lớn nhất bằng \( - \frac{{149}}{3}\)khi \(\left\{ \begin{array}{l}y + \frac{8}{3} = 0\\z - \frac{7}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{8}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó \(M(0; - \frac{8}{3};\frac{7}{3})\)\( \Rightarrow x + y - z = 0 - \frac{8}{3} - \frac{7}{3} =  - 5\)

Cách 2:

\[\begin{array}{l}P =  - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2} =  - 2{\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} - 3{\overrightarrow {MC} ^2}\\ =  - 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} - {(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2} - 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )^2}\end{array}\]

\(\begin{array}{l} =  - 6{\overrightarrow {MI} ^2} - 2{\overrightarrow {MI} ^2}(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} ) - (2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2})\\ =  - 6M{I^2} - (2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}) - 2{\overrightarrow {MI} ^2}(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} )\end{array}\)

\(P\) lớn nhất bằng\(\begin{array}{l} - 6{\overrightarrow {MI} ^2} - (2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2}) =  - 6M{I^2} - (2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2})\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow I(\frac{{13}}{6}; - \frac{8}{3};\frac{7}{3})\)

Khi đó \(P\) lớn nhất thì \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\). Vì \(M \in (Oyz) \Rightarrow M(0; - \frac{8}{3};\frac{7}{3})\)

Do đó: \( \Rightarrow x + y - z = 0 - \frac{8}{3} - \frac{7}{3} =  - 5\)