PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một nhà máy sản xuất \[x\] sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \[x\] sản phẩm được cho bởi hàm chi phí \[C\left( x \right) = 16\;000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\] (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \[x\] và được cho bởi công thức \[p\left( x \right) = 1\;700 - 7x\] (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ tiêu thụ hết.

Lời giải

a) Ta có:

* Chi phí xuất bản \[x\]cuốn tạp chí là \(C\left( x \right)\): \(C\left( x \right) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 10000\) (vạn đồng).

* Chi phí phát hành\[x\]cuốn tạp chí là \(H\left( x \right)\): \(H\left( x \right) = 0,4x\) (vạn đồng).

Tổng chi phí \(T\left( x \right)\) (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí là

\(T\left( x \right) = C\left( x \right) + H\left( x \right)\)

\(T\left( x \right) = \left( {0,0001{x^2} - 0,2x + 10000} \right) + 0,4x\)

\(T\left( x \right) = 0,0001{x^2} + 0,2x + 10000\) vạn đồng.

Mệnh đề a) là ĐÚNG.

b) Số tiền lãi \(L\left( x \right)\) khi in \(x\) cuốn tạp chí bằng Tổng số tiền doanh thu trừ đi tổng số tiền chi phí

Ta tìm hàm doanh thu:

Giá bán \(20\) nghìn đồng/cuốn \( = 2\) vạn đồng/cuốn.

Doanh thu từ bán \(x\) cuốn: \(2x\) (vạn đồng).

Khoản trợ giúp: \(90\) triệu đồng \( = 9000\) vạn đồng.

Tổng doanh thu \(R\left( x \right)\) là: \(R\left( x \right) = 2x + 9000\) (vạn đồng)

Số tiền lãi \(L\left( x \right)\) khi in \(x\) cuốn tạp chí là \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - T\left( x \right)\)

\(L\left( x \right) = \left( {2x + 9000} \right) - \left( {0,0001{x^2} + 0,2x + 10000} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + \left( {2 - 0,2} \right)x + \left( {9000 - 10000} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000\)

Mệnh đề b) là SAI

c) Để có lãi cần in bao nhiêu cuốn

Để có lãi, ta cần \(L\left( x \right) > 0\).

\( - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000 > 0 \Leftrightarrow \)\(573,85 < x < 17426.14\)

Vậy, để có lãi (in ra số nguyên cuốn), cần in từ \(574\) đến \(17426\) cuốn.

Mệnh đề c) là ĐÚNG

d) Hàm lãi \(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000\) là một parabol có hệ số \(a =  - 0,0001 < 0\), nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

\({x_{{\rm{max}}}} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{1,8}}{{ - 0,0002}} = 9000\)

Lãi lớn nhất đạt được khi in \(9000\) cuốn.

Mệnh đề d) là SAI.

Lời giải

Đáp án: 0,75

Ta có \(0 < x < 0,9\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang cân ta có \(h = \sqrt {0,{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2} - \frac{{0,3}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}}\)

Diện tích đáy là

\[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {0,3 + x} \right)\frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}} = \frac{1}{{400}}\left( {3 + 10x} \right)\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} \].

\[\begin{array}{l}S'\left( x \right) = \frac{1}{{400}}\left[ {10\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27}  + \left( {3 + 10x} \right)\frac{{ - 200x + 60}}{{2\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right]\\ = \frac{1}{{40}}\left[ {\frac{{ - 100{x^2} + 60x + 27 + \left( {3 + 10x} \right)\left( { - 10x + 3} \right)}}{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right] = \frac{{ - 200{x^2} + 60x + 36}}{{40\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 0,15\\x = 0,75\end{array} \right.\end{array}\]

Do chiều cao của máng là 3 m không đổi suy ra thể tích máng lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.

Vậy \(x = 0,75\left( m \right)\) thì thể tích máng xối lớn nhất.