Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( { - 2; - 4;9} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Giá trị của \(T = abc\) bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án: 0,75

Ta có \(0 < x < 0,9\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang cân ta có \(h = \sqrt {0,{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2} - \frac{{0,3}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}}\)

Diện tích đáy là

\[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {0,3 + x} \right)\frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}} = \frac{1}{{400}}\left( {3 + 10x} \right)\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} \].

\[\begin{array}{l}S'\left( x \right) = \frac{1}{{400}}\left[ {10\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27}  + \left( {3 + 10x} \right)\frac{{ - 200x + 60}}{{2\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right]\\ = \frac{1}{{40}}\left[ {\frac{{ - 100{x^2} + 60x + 27 + \left( {3 + 10x} \right)\left( { - 10x + 3} \right)}}{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right] = \frac{{ - 200{x^2} + 60x + 36}}{{40\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 0,15\\x = 0,75\end{array} \right.\end{array}\]

Do chiều cao của máng là 3 m không đổi suy ra thể tích máng lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.

Vậy \(x = 0,75\left( m \right)\) thì thể tích máng xối lớn nhất.

Lời giải

Đáp án: 15.

Ta có \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow u \left( {2; - 2;1} \right)\)nên \(\frac{{540}}{2} = \frac{{{y_B} - 3}}{{ - 2}} = \frac{{{z_B}}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} =  - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {550; - 537;270} \right)\)

Quãng đường \(AB = 810m\) thì cabin di chuyển hết 3 phút. Vậy để cabin di chuyển hết quãng đường \(AD = 4050m\) thì mất \(\frac{{4050}}{{810}}.3 = 15\) phút.