Trong quá trình khảo sát chiều cao của các bạn học sinh trong lớp, lớp trưởng Hùng có ghi lại thông tin vào một tờ giấy có bảng số liệu. Tuy nhiên, do không cẩn thận nên Hùng đã làm đổ mực vào tờ giấy, dẫn đến việc một số chỗ trong tờ giấy không thể nhìn được. Hiện tại, các thông tin ghi trên tờ giấy được thể hiện như sau:

Lớp 12A          Số học sinh: 40 Chiều cao (cm) \(\left[ {140;150} \right)\) \(\left[ {???;160} \right)\) \(\left[ {160;170} \right)\) \(\left[ {???;???} \right)\) \(\left[ {???;190} \right]\) Số học sinh \(???\) \(???\) 12 \(???\) 5 Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp: \(166,25{\rm{\;cm}}\)

Nam còn nhớ một thông tin đặc biệt nữa, đó là trong số các bạn học sinh có chiều cao thấp hơn 160 cm, có \(\frac{1}{3}\) số học sinh có chiều cao thấp hơn 150 cm. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp, tính xác suất để cả hai học sinh đó đều có chiều cao từ 170 cm trở lên.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng các dữ kiện đề bài cho để giải hệ phương trình.

Lời giải

Gọi số học sinh có chiều cao trong các khoảng \(\left[ {140;150} \right),\left[ {150;160} \right)\) và \(\left[ {170;180} \right)\) lần lượt là \(x,y,z\) học sinh, \(x,y,z \in \mathbb{N}\).

Do tổng số học sinh là \(40 \Rightarrow x + y + 12 + z + 5 = 40 \Leftrightarrow x + y + z = 23\)

Do trung bình chiều cao của các học sinh là \(166,25{\rm{\;cm}}\) nên:

\(\frac{{145.x + 155.y + 165.12 + 175.z + 185.5}}{{40}} = 166,25 \Leftrightarrow 145x + 155y + 175z = 3745\)

Do trong số các bạn học sinh có chiều cao thấp hơn 160 cm, có \(\frac{1}{3}\) số học sinh có chiều cao thấp hơn 150 cm, nên \(x = \frac{1}{3}\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 2x - y = 0\).

Khi đó, ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 23}\\{145x + 155y + 175z = 3745}\\{2x - y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 8}\\{z = 11}\end{array}} \right.} \right.\).

Như vậy, trong lớp 12A có \(11 + 5 = 16\) học sinh có chiều cao từ 170 cm trở lên. Khi đó, xác suất cần tính là \(\frac{{C_{16}^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{2}{{13}}\).