Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB và HC. Kẻ MK vuông góc với AN tại K, MK cắt AH tại I. Tính tỉ số \(\frac{{AH}}{{AI}}\).

Ta có \(OA \bot BC\) tại F (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(\Delta ACF\) vuông ở F, trung tuyến FD

\( \Rightarrow \)\(DF = DC = \frac{1}{2}AC\) \( \Rightarrow \)\(\widehat {DFC} = \widehat {DCF}\) (1)

 (vì \(\widehat {BDC}\) chung, )

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DEC} = \widehat {DCB}\) hay \(\widehat {DEC} = \widehat {DCF}\) (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DFC}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Cách 2:

Ta có OA là trung trực của đoạn BC (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(OA \bot BC\) tại F và \(FB = FC\)

DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \)\(DF\parallel AB\)

 \( \Rightarrow \)\(\widehat {EDF} = \widehat {ABD}\) (so le trong,  \(DF\parallel AB\))           (1)

\( \Rightarrow \)                         (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {EDF} = \widehat {ECF}\) \( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Gọi số cabin của tuyến Vân Sơn là \(x\) (cabin) \(\left( {x \in {\mathbb{Z}^ + }, x < 191} \right)\)

Gọi số cabin của tuyến Chùa Hang là \(y\) (cabin) \(\left( {y \in {\mathbb{Z}^ + }, y < 191} \right)\)

Hai tuyến Vân Sơn và Chùa Hang có tổng cộng 191 cabin nên:

\(x + y = 191\)

Vì số người ở tuyến Vân Sơn nhiều hơn số người ở tuyến Chùa Hang là 350 người (nếu mỗi cabin chứa đủ 10 người) nên:

\(10x - 10y = 350\) hay \(x - y = 35\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{x - y = 35}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{2x = 226}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 113  (nha\"a n)}\\{y = 78  (nha\"a n)}\end{array}} \right.\)

Vậy tuyến Vân Sơn có 113 cabin tuyến Chùa Hang có 78 cabin.