Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng \(\frac{a}{b}\)( với \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản). Tính \(a - b\).

Đáp án: \( - 25\).

Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là \(10! \Rightarrow n(\Omega ) = 10!\) !

Xét các biến cố: \(A\) : "Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau".

\(\bar A\) : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".

\({A_1}\) :" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".

\({A_2}\) : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".

\({A_1} \cap {A_2}\) : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".

\( \Rightarrow \overline A = {A_1} \cup {A_2} \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = C_5^1.2!.8!\).

Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại

\( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = A_3^2.C_5^1.8!\).

Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):

Chọn cặp ghế cho 12A: cách.

Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn cách.

Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: \(C_3^2 = 3\)

Sắp xếp trong mỗi cặp: cho 12A và cho 12B.

Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: .

Vậy

\( \Rightarrow n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = \)

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1440000\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 2188800 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{38}}{{63}} \Rightarrow a - b = - 25\).