Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong (C):\(y = \frac{{x + a}}{{x + b}}\) bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ Oxy thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong (C) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và có đường tiệm cận đứng \(x = 1\). Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường \({\Delta _1}:2x + y - 4 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 2y - 2 = 0\) cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí M đó đến hai tuyến đường \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm M là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?
Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong (C):\(y = \frac{{x + a}}{{x + b}}\) bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ Oxy thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong (C) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và có đường tiệm cận đứng \(x = 1\). Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường \({\Delta _1}:2x + y - 4 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 2y - 2 = 0\) cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí M đó đến hai tuyến đường \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm M là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Hải Phòng !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 34,1
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - b = 1 \Rightarrow b = - 1\).
Khi đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{x - 1}}\) qua \(\left( {2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{2 + a}}{{2 - 1}} \Rightarrow a = 1\); hàm số là (C).
Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm m thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.
Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right),\,\,{x_0} > 1\). Tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là
\(d = d\left( {M\,,\,\,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M\,,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2{x_0} + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {{x_0} + 2 \cdot \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) ;
\(\sqrt 5 d = \left| {\frac{{2x_0^2 - 5{x_0} + 5}}{{{x_0} - 1}}} \right| + \left| {\frac{{x_0^2 - {x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{{2x_0^2 - 5{x_0} + 5}}{{{x_0} - 1}} + \frac{{x_0^2 - {x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}\)
(vì \(\left\{ \begin{array}{l}2x_0^2 - 5{x_0} + 5 > 0\\{x_0} - 1 > 0\\x_0^2 - {x_0} + 4 > 0\end{array} \right.\,,\,\,\forall {x_0} > 1\)).
Đặt \(\sqrt 5 d = \frac{{3x_0^2 - 6{x_0} + 9}}{{{x_0} - 1}} = g\left( x \right)\) với \(x > 1\).
Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{3x_0^2 - 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3x_0^2 - 6{x_0} - 3 = 0 \Rightarrow {x_0} = 1 + \sqrt 2 > 1\).
Ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = 1 + \sqrt 2 \)\( \Rightarrow M\left( {1 + \sqrt 2 \,;\,\,1 + \sqrt 2 } \right)\).
Khoảng cách OM trên thực tế là mét.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp số : 30
Gọi \(M,I\)lần lượt là trung điểm \(CD,\,SC\).
Theo giả thiết ta có tam giác \(ACD\) đều. Suy ra \(AM = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).
Kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) thì \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Ta có \(GI = \frac{1}{3}AI\) nên \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}AH\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{3}.\frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\sqrt 3 a}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} a}}{{15}}\)
Vậy \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {15} a}}{{15}}\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Sai
Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {13 - 4} = 3\)
\( \Rightarrow {V_{ltru}} = \frac{1}{2}.2.3.4 = 12\)
b) Sai
\(d(A'C,FE) = d(FE,(A'BC)) = d(E;(A'BC)) = \frac{1}{2}d(A;(A'BC)) = \frac{1}{2}d\)
\(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{{\rm{AA}}{{\rm{'}}^2}}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{{61}}{{144}} \Rightarrow d = \frac{{12}}{{\sqrt {61} }} \Rightarrow d(A'C,FE) = \frac{6}{{\sqrt {61} }}\).
c) Đúng: vì AB vuông góc với mp (ACA’)
d) Đúng
Góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng A’CA
\( \Rightarrow \cos \widehat {A'CA} = \frac{{AC}}{{A'C}} = \frac{3}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{3}{5}\)
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập