Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{n.C_{2n}^n}}{{C_{2n}^{n + 1}}}\), biết \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(A_n^2 - C_n^2 = 4950\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Công thức tổ hợp, chỉnh hợp.

Lời giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}}\\{n \ge 2}\end{array}} \right.\).

Ta có

\(A_n^2 - C_n^2 = 4950 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 4950 \Leftrightarrow n.\left( {n - 1} \right) = 9900 \Leftrightarrow n = 100\).

Khi đó \(P = \frac{{n.C_{2n}^n}}{{C_{2n}^{n + 1}}} = \frac{{n.\left( {2n} \right)!}}{{n!.n!}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {2n} \right)!}} = n + 1\).

Vậy \(P = 101\).