Đáp án:  ____

Đáp án đúng là "-12"

Phương pháp giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải

Giả thiết cho \({2^{x - 2y}}.\left( {2x + 1} \right) = 4y + 2x + 4\)

\( \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = 2\left( {2y + x + 2} \right){2^{2y}} \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + 1}}\left( {2y + x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\); suy ra

\(f'\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right){\rm{ln}}2 + {2^t} > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right) \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1\)

Suy ra:

\(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037 = {2^{y - 1}} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 2037 = \frac{1}{4}{.2^{y + 1}} - {(y + 1)^2} + 2037\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \frac{1}{4}{.2^a} - {a^2};a \in \left[ {2;4} \right]\)

\(g'\left( a \right) = \frac{{{2^a}.{\rm{ln}}2}}{4} - 2a \Rightarrow g''\left( a \right) = \frac{{{2^a}.{\rm{l}}{{\rm{n}}^2}2}}{4} - 2 < 0,\forall a \in \left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow g'\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow g\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}g\left( a \right) = g\left( 4 \right) =  - 12\)