Cho tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1 và \(AD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).

 

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)

Khi đó \(AM = MD = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta AMD\) là tam giác đều

Ta có \({S_{AMD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}\)

Lại có \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABD}}.d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{1}{3}.{S_{AMD}}.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).

\({S_{ABD}} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{3V}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\).