Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {{x^2} + 3x + 2} \right).f'\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4{x^2} + 4x}}{{\sqrt {{x^2} + 8} }},\forall x \in \left( { - 2; + \infty } \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tính diện tích

Lời giải

\(f\left( x \right) + \left( {{x^2} + 3x + 2} \right).f'\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4{x^2} + 4x}}{{\sqrt {{x^2} + 8} }} \Leftrightarrow f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)f'\left( x \right) = \frac{{x{{(x + 2)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}f\left( x \right) + \frac{{x + 1}}{{x + 2}}f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.f'\left( x \right)} \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}}f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 8} + C\)

Với \(x = - 1\) thì \(C = - 3\)

Vậy với \(x \ne - 1\) thì \(f\left( x \right) = \left( {\sqrt {{x^2} + 8} - 3} \right).\frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)