Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {(x-1)}^2 +{(y-1)}^2 +{(z+1)}^2 =4$ . Có tất cả bao nhiêu điểm M(a;b;c) a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua M và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình để tìm cặp nghiệm.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\), và điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

Ta có, tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow R \le MI \le R\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 4 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} + {1^2} \le 8 \Leftrightarrow 3 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} \le 7\)

Suy ra \({(b - 1)^2} \le 7 \Leftrightarrow  - \sqrt 7  \le b - 1 \le \sqrt 7  \Rightarrow b \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\)

Suy ra có 8 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn. Vậy có 8 điểm \(M\) thỏa mãn đề bài