Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 2;2} \right)\) và cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho diện tích tam giác \(\Delta OAB\) bằng 1. Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).

Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).

Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).

d) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).

Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}b\\a =  - 2b\end{array} \right.\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b =  - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).

TH2: \(a =  - 2b\). Chọn \(b =  - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).

Vậy \({a^2} - 5{b^2} =  - 19\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).

Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).

Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).

Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).

Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b =  - 4\).

Trả lời: −4.