Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \({d_1}:2x - y + 5 = 0;{d_2}:x + y - 3 = 0\) cắt nhau tại \(I\) và ba điểm \(M\left( { - 2;0} \right),E\left( { - 3;4} \right),F\left( {1;3} \right)\).

Lời giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).

Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).

Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).

d) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).

Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}b\\a =  - 2b\end{array} \right.\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b =  - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).

TH2: \(a =  - 2b\). Chọn \(b =  - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).

Vậy \({a^2} - 5{b^2} =  - 19\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.