Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 1} \right)\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;2} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {A;B} \right)\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 1} \right)\)nên phương trình d có dạng: \(A\left( {x - 5} \right) + B\left( {y + 1} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow Ax + By - 5A + B = 0\]

Vì \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) nên ta có \(d\left( {I,d} \right) = R\).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {A.2 + B.2 - 5A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 3A + 3B} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2}} \)

\( \Leftrightarrow 9{A^2} - 18AB + 9{B^2} = 9\left( {{A^2} + {B^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow AB = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Với \(A = 0\), ta chọn \(B = 1\).

Suy ra phương trình \(d:y + 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - 1\)

Với \(B = 0\), ta chọn \(A = 1\).

Suy ra phương trình \(d:x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: \(y =  - 1\) hoặc \(x = 5\).

Do đó ta chọn phương án B.